Решить дифференциальные уравнения (указав их тип)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''-y=0. Для этого составим характеристическое уравнение
λ2-1=0 и найдем его корни λ1,2=±1. Общее решение однородного уравнения будет:
yо.о.=C1ex+C2e-x.
Правая часть неоднородного уравнения имеет вид fx=x∙cosx . Частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов.
Частное решение, соответствующее правой части fx=x∙cosx будем искать в виде:
yч.н.=Axcosx+Bxsinx+Ccosx+Dsinx
Имеем:
yч.н.'=-Axsinx+Acosx+Bxcosx+Bsinx-Csinx+Dcosxyч.н.''=-Asinx-Axcosx-Asinx+Bcosx-Bxsinx+Bcosx--Ccosx-Dsinx
Подставляем полученные выражение в неоднородное уравнение:
-Asinx-Axcosx-Asinx+Bcosx-Bxsinx+Bcosx--Ccosx-Dsinx-Axcosx-Bxsinx-Ccosx-Dsinx=x∙cosx.
Приравниваем коэффициенты при sinx и cosx слева и справа, получаем:
-A-A-D-D=0-A-A=1B+B-C-C=0-B-B=0=>A=-12, B=0, C=0, D=12.
Таким образом, yч.н.=-12xcosx+12sinx.
Следовательно, общее решение исходного уравнения есть yо.н.=yо.о.+yч.н., или
yо.н.=C1ex+C2e-x-12xcosx+12sinx.
Ответ: yо.н.=ex+C2e-x-12xcosx+12sinx.