Решить дифференциальное уравнение y''+9y=x+8

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения.
y''+9y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2+9=0 k1,2=3i
Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, значит общее решение однородного уравнения:
y0=C1cos3x+C2sin3x
Найдем частное решение неоднородного уравнения