Решить дифференциальное уравнение у' = f(х) + ху при заданных начальных условиях хо = -5

Запишем выражение для y:
у' = f(х) + ху = sin x + 0.2x – 2 + ху
Будем искать решение уравнения на отрезке [–5, 0] с шагом h = 0,5, т.е. отрезок разбивается на 10 частей.
Решение будем искать в точках xi = x0 + h, где x0 = –5, h = 0,5, i = 1,2,…, 10.
Воспользуемся методом Эйлера
Для уравнения вида y = f (x, y) решение yi в точках xi определяется по формуле
,
В нашем случае x0 = –5, y0 = 0,
Рассчитаем значения yi на каждом шаге
x1 = -4.5
y1 = y0 + h*f(x0, y0) = 0 + 0,5*(sin(-5) + 0,2*(-5) - 2 +( -5)*0) = 0 + 0,5*(-2,04108) = -1,02054
x2 = -4
y2 = y1 + h*f(x1, y1) = -1,02054 + 0,5*(sin(-4,5) + 0,2*(-4,5) - 2 +( -4,5)*(-1,02054)) = -1,02054 + 0,5*(2,66995) = 0,31444
x3 = -3.5
y3 = y2 + h*f(x2, y2) = 0,31444 + 0,5*(sin(-4) + 0,2*(-4) - 2 +( -4)*0,31444) = 0,31444 + 0,5*(-3,30095) = -1,33604
x4 = -3
y4 = y3 + h*f(x3, y3) = -1,33604 + 0,5*(sin(-3,5) + 0,2*(-3,5) - 2 +( -3,5)*(-1,33604)) = -1,33604 + 0,5*(2,32691) = -0,17258
x5 = -2.5
y5 = y4 + h*f(x4, y4) = -0,17258 + 0,5*(sin(-3) + 0,2*(-3) - 2 +( -3)*(-0,17258)) = -0,17258 + 0,5*(-2,22338) = -1,28427
x6 = -2
y6 = y5 + h*f(x5, y5) = -1,28427 + 0,5*(sin(-2,5) + 0,2*(-2,5) - 2 +( -2,5)*(-1,28427)) = -1,28427 + 0,5*(0,1122) = -1,22817
x7 = -1.5
y7 = y6 + h*f(x6, y6) = -1,22817 + 0,5*(sin(-2) + 0,2*(-2) - 2 +( -2)*(-1,22817)) = -1,22817 + 0,5*(-0,85296) = -1,65465
x8 = -1
y8 = y7 + h*f(x7, y7) = -1,65465 + 0,5*(sin(-1,5) + 0,2*(-1,5) - 2 +( -1,5)*(-1,65465)) = -1,65465 + 0,5*(-0,81552) = -2,06241
x9 = -0.5
y9 = y8 + h*f(x8, y8) = -2,06241 + 0,5*(sin(-1) + 0,2*(-1) - 2 +( -1)*(-2,06241)) = -2,06241 + 0,5*(-0,97906) = -2,55194
x10 = 0
y10 = y9 + h*f(x9, y9) = -2,55194 + 0,5*(sin(-0,5) + 0,2*(-0,5) - 2 +( -0,5)*(-2,55194)) = -2,55194 + 0,5*(-1,30346) = -3,20367
Запишем в виде таблицы
xi yi
-5 0
-4,5 -1,0205
-4 0,31444
-3,5 -1,336
-3 -0,1726
-2,5 -1,2843
-2 -1,2282
-1,5 -1,6546
-1 -2,0624
-0,5 -2,5519
0 -3,2037
Построим график решения
Воспользуемся методом Рунге-Кутты 2-го порядка.
Решение yi в точках xi определяется по формуле
В нашем случае x0 = –5, y0 = 0,
Рассчитаем значения yi на каждом шаге
y1 = y0 + h*f(x0+ h/2, y0 + h/2*f(x0, y0)) = 0,23654
y2 = y1 + h*f(x1+ h/2, y1 + h/2*f(x1, y1)) = 0,34317
y3 = y2 + h*f(x2+ h/2, y2 + h/2*f(x2, y2)) = 0,2117
y4 = y3 + h*f(x3+ h/2, y3 + h/2*f(x3, y3)) = -0,14783
y5 = y4 + h*f(x4+ h/2, y4 + h/2*f(x4, y4)) = -0,62059
y6 = y5 + h*f(x5+ h/2, y5 + h/2*f(x5, y5)) -1,10137
y7 = y6 + h*f(x6+ h/2, y6 + h/2*f(x6, y6)) = -1,5626
y8 = y7 + h*f(x7+ h/2, y7 + h/2*f(x7, y7)) = -2,03647
y9 = y8 + h*f(x8+ h/2, y8 + h/2*f(x8, y8)) = -2,59439
y10 = y9 + h*f(x9+ h/2, y9 + h/2*f(x9, y9)) = -3,37873
Запишем в виде таблицы
xi yi
-5 0
-4,5 0,23654
-4 0,34317
-3,5 0,2117
-3 -0,1478
-2,5 -0,6206
-2 -1,1014
-1,5 -1,5626
-1 -2,0365
-0,5 -2,5944
0 -3,3787
Построим график решения