Решить уравнение 2-го порядка x'=2x+yy'=3x+4y

Продифференцируем первое уравнение и подставим в него производную y′ из второго уравнения:
x''=2x'+y'=>x''=2x'+3x+4y=>x''=2x'+3x+4y
Из первого уравнения системы выразим y и подставим в последнее уравнение:
x''=2x'+3x+4x'-2x=>x''-6x'+5x=0
Мы получили линейное однородное уравнение 2-го порядка для функции x(t)
Корни характеристического уравнения равны
k2-6k+5=0=>k=1, k=5
Тогда решение однородного уравнения для x(t) имеет вид:
xt=C1et+C2e5t, где C1, C2 - произвольные числа.
Остается найти функцию y(t). Вычислим производную x′(t) и подставим ее в первое уравнение исходной системы:
x't=C1et+5C2e5t=>C1et+5C2e5t=2C1et+C2e5t+y=>
y=-C1et+3C2e5t.
Окончательный ответ записывается в следующем виде:
x=C1et+C2e5ty=-C1et+3C2e5t
Ответ:x=C1et+C2e5ty=-C1et+3C2e5t