Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами

1) по формулам Крамера
Запишем основную матрицу системы
5041-12111
Найдем главный определитель системы, разложив его по элементам первой
строки
∆=5041-12111=5∙-1211-0+4∙1-111=
=5-1-2+41+1=-15+8=-7≠0
Определитель ∆≠0, следовательно, заданная система может быть решена по формулам Крамера:x1=∆1∆ , x2=∆2∆ , x3=∆3∆, где определители ∆1,∆2,∆3 получаются из определителя ∆ путем замены 1-го, 2-го, 3-го столбцов соответственно на столбец B=10-1 свободных членов.
Вычислим определители ∆1,∆2,∆3, посчитав их методом разложения по первой строке
∆1=1040-12-111=1∙-1211-0+4∙0-1-11=
=-1-2+40-1=-7;
∆2=5141021-11=5∙02-11-1∙1211+4∙101-1=
=50+2-1-2+4-1-0=7;
∆3 =5011-1011-1=5∙-101-1-0+1∙1-111=
=51-0+1+1=7
Таким образом,
x1=∆1∆=-7-7=1 , x2=∆2∆=7-7=-1 , x3=∆3∆=7-7=-1
2) методом Гаусса
Выпишем расширенную матрицу данной системы
5041-1211110-1~
Поменяем местами третью и первую строки
~1111-12504-101~
Умножим первую строку на -1 и сложим со второй строкой
Умножим первую строку на -5 и сложим с третьей строкой
~1110-210-5-1-116~
Умножим вторую строку на -52 и сложим с третьей строкой
~1110-2100-7/2-117/2~
Умножим третью строку на -27
~1110-21001-11-1~
Умножим третью строку на -1 и сложим со второй строкой
~1110-20001-12-1~
Разделим вторую строку на -2
~111010001-1-1-1
Такой расширенной матрице соответствует следующая система уравнений
x1+x2+x3=-1x2=-1x3=-1=>x1-1-1=-1x2=-1x3=-1=>x1=1x2=-1x3=-1
3) средствами матричного исчисления
Решим систему средствами матричного исчисления по формуле
X=A-1∙B,
где X=x1x2x3,A=5041-12111, B=10-1
Найдем обратную матрицу A-1 по формуле
A-1=1∆∙A11A21A31A12A22A32A13A23A33
Для этого вычислим алгебраические дополнения
A11=+-1211=-1-2=-3
A21=-0411=-0-4=4
A31=+04-12=0+4=4
A12=-1211=-1-2=1
A22=+5411=5-4=1
A32=-5412=-10-4=-6
A13=+1-111=1+1=2
A23=-5011=-5-0=-5
A33=+501-1=-5-0=-5
Таким образом,
A-1=-17-34411-62-5-5=3/7-4/7-4/7-1/7-1/76/7-2/75/75/7
Отсюда искомая матрица
X=A-1∙B=3/7-4/7-4/7-1/7-1/76/7-2/75/75/710-1=-17-34411-62-5-510-1=
=-17-3∙1+4∙0+4-11∙1+1∙0+-6-12∙1+-5∙0+-5-1=-17-777=1-1-1
Ответ: x1=1 ; x2=-1 ; x3=-1