Разложить функцию ƒ(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0

Изолированными особыми точками функции, очевидно, являются точки z1,2=±i, так как в них знаменатель функции обращается в ноль. Во всех остальных точках комплексной плоскости функция является аналитической.
Для разложения функции в ряд Лорана преобразуем её следующим образом, выделив явно z-z0=z-i:
fz=z1+z2=zz-iz+i=12∙1z-i+12∙1z+i=
=12∙1z-i+12∙12i+z-i=12∙1z-i+14i∙11+z-i2i=
=12∙1z-i+14i∙11-z-ii2;
Теперь воспользуемся стандартными разложениями в ряд Тейлора:
fz=12∙1z-i+14i∙11-z-ii2=12∙1z-i+14i∙n=0∞z-ii2n=
=12∙1z-i+14i∙n=0∞z-inin2n=12∙1z-i+n=0∞z-inin-12n+2.