Рассматривается зависимость между двумя экономическими показателями x и y
x
y
79 134
91 154
77 128
87 138
84 133
76 144
84 160
94 149
79 125
98 163
81 120
115 162
Необходимо:
Построить корреляционное поле.
Найти уравнение линейной регрессии Y по X.
Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента линейной корреляции Пирсона.
Определить стандартные ошибки регрессии и её коэффициентов.
Построить доверительный интервал для углового коэффициента линии регрессии с надежностью 0,95.
Проверить значимость уравнения регрессии на 5% уровне по F-критерию.
Выполнить прогноз при прогнозном значении независимого фактора, составляющем 110% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
Построить линию тренда на корреляционном поле.
Решение
Построить корреляционное поле.
Построим поле корреляции.
Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу.
x
y
x∙y
x2
y2
yмодель
y-yмодель
y-yмодель2
1 79 134 10586 6241 17956 128,18 5,82 33,90
2 91 154 14014 8281 23716 148,07 5,93 35,18
3 77 128 9856 5929 16384 124,86 3,14 9,84
4 87 138 12006 7569 19044 141,44 -3,44 11,82
5 84 133 11172 7056 17689 136,47 -3,47 12,01
6 76 144 10944 5776 20736 123,20 20,80 432,44
7 84 160 13440 7056 25600 136,47 23,53 553,87
8 94 149 14006 8836 22201 153,04 -4,04 16,33
9 79 125 9875 6241 15625 128,18 -3,18 10,10
10 98 163 15974 9604 26569 159,67 3,33 11,08
11 81 120 9720 6561 14400 131,49 -11,49 132,08
12 115 162 18630 13225 26244 187,85 -25,85 668,24
Итого 1045 1710 150223 92375 246164
11,08 1926,90
Среднее значение 87,08 142,50 12518,58 7697,92 20513,67
σ2
114,41 207,42
σ
10,70 14,40
Найти уравнение линейной регрессии Y по X.
Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии yмодель=bo+b1∙x:
b1=x∙y-x∙yx2-x2=0,955;
b0=y-b1∙x=59,376.
Получили уравнение: yмодель=59,376+0,955∙x
. С увеличением показателя x на 1000 единиц показатель y увеличится в среднем на 955 единиц, т. е. связь прямая.
Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента линейной корреляции Пирсона.
Уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции rxy:
rxy=b1∙σxσy=0,71.
Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками. Коэффициент детерминации R2=rxy2=0,50 показывает, что уравнением регрессии объясняется 50% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 50%.
Определить стандартные ошибки регрессии и её коэффициентов.
Стандартную ошибку регрессии определяем по формуле:
S=y-yмодель2n-2=11,13
Соответственно стандартные ошибки оценок коэффициентов линии регрессии равны:
Sb1=Sx-x2=0,30
Sb0=Sb1x2=26,35
Построить доверительный интервал для углового коэффициента линии регрессии с надежностью 0,95.
При построении доверительного интервала для углового коэффициента предварительно найдем критическое значение критерия Стьюдента с помощью функции
СТЬЮДРАСПОБР(, n-2), где =0,05 – уровень значимости; n=12 – объем выборки.
Получаем tкр=2,23
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
