Рассматривается прибор, состоящий из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых состоит из нескольких элементов. Известны вероятности отказов каждого из элементов:
p1=0.3,
p2=0.2,
p3=0.1,
p4=0.1,
p5=0.2,
p6=0.2,
p7=0.3.
При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А составляет С1 = 4; блока В – С2 = 8 единиц стоимости. Предполагается, что за период времени Т замененный блок не выйдет ещё раз из строя.
Найти случайную величину – стоимость восстановления прибора за период времени Т
построить её ряд и функцию распределения
вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Построить модель найденной случайной величины для двадцати приборов (методом жребия получить её 20 значений)
найти экспериментальные ряд и функцию распределения
найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
построить графики теоретических и экспериментальных ряда и функции распределения
С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального распределения теоретическому с уровнем значимости = 0,05
Решение
Определим значения случайной величины - стоимость восстановления прибора.
Данная величина может принимать следующие значения:
x1=0 – оба блока исправны;
x2=C1=4 – требуется замена блока А;
x3=C2=8 – требуется замена блока В;
x4=C1+C2=12 – требуется замена блока А и В.
Для начала определим вероятности выхода из строя блоков А и В.
Блоки А и В – независимо работающие блоки, каждый из которых собран из нескольких независимых элементов.
Блок подлежит полной замене при отказе одного или нескольких элементов.
Рассмотрим блок А.
Пусть событие А – выход из строя блока А,
Ai – выход из строя i-ого (i = 1, 2, 3) элемента.
Вычислим вероятность отказа блока с учетом того, что все элементы блока соединены параллельно.
Данный блок откажет в том случае, если откажут сразу все его элементы одновременно.
Следовательно, отказ блока определим как произведение событий A1, A2, A3
Получим
PA=PA1PA2PA3=p1p2p3=0,3×0,2×0,1=0,006
Тогда вероятность того, что блок А исправен, будет равна:
PA=1-PA=1-0,006=0,994
Рассмотрим блок В.
Пусть событие В – выход из строя блока В;
Bi – выход из строя i-ого (i = 4, 5, 6, 7) элемента.
Рассмотрим схему по частям:
Элементы 5, 6, 7 блока соединены последовательно. Следовательно, данный блок нужно будет заменить, если хотя бы один из элементов выйдет из строя. Вероятность отказа блока в этом случае можно определить как разность между 1 и произведением вероятностей противоположных событий B5, B6, B7.
В то же время элемент 4 и элементы 5, 6, 7 соединены параллельно. Данный блок откажет в том случае, если откажут сразу все его элементы одновременно.
Следовательно, отказ блока определим как произведение событий B4 и (B5, B6, B7).
Получим:
PB=PB4P1-B5× B6× B7=PB4P1-(1-B5)× (1-B6)× (1-B7)=
=p41-(1-p5)× (1-p6)× (1-p7)
PB=0,1×1-(1-0,2)× (1-0,2)× (1-0,3)=0,1×1-0,8× 0,8× 0,7=0,0552
Тогда вероятность того, что блок B исправен, будет равна:
PB=1-PB=1-0,0552=0,9448
Определим вероятности значений случайной величины
x1=0 – оба блока исправны. Получим событие A×B
P=0=PA×B=PAPB=0,994×0,9448=0,9391
x2=C1=4 – требуется замена блока А. Получим событие A×B
P=4=PA×B=PAPB=0,006×0,9448=0,0057
x3=C2=8 – требуется замена блока В
. Получим событие A×B
P=8=PA×B=PAPB=0,994×0,0552=0,0549
x4=C1+C2=12 – требуется замена блока А и В. Получим событие A×B
P=12=PA×B=PAPB=0,006×0,0552=0,0003
Запишем ряд распределения в форме таблицы
Таблица 1. Ряд распределения
xi
0 4 8 12 ∑
pi
0,9391 0,0057 0,0549 0,0003 1
Многоугольник распределения будет иметь следующий вид:
Рисунок 1. Многоугольник распределения
Функцию распределения найдем по следующей формуле:
Fx=xi<xpi
При x<0 =>Fx=0
При 0≤x<4 =>Fx=p1=0,9391
При 4≤x<8 =>Fx=p1+p2=0,9391+0,0057=0,9448
При 8≤x<12 =>Fx=p1+p2+p3=0,9391+0,0057+0,0549=0,9997
При x≥12 =>Fx=p1+p2+p3+p4=0,9391+0,0057+0,0549+0,0003=1
Таким образом, функция распределения (Fx) будет иметь вид:
Fx=0, x<0 0,9391, 0≤x<4 0,9448, 4≤x<80,9997, 8≤x<121, x≥12
График функции распределения будет иметь следующий вид:
Рисунок 2. Функция распределения
Для нахождения математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения будем использовать следующие формулы:
Математическое ожидание:
M(x)=i=1nxipi
Дисперсия
Dx=i=1nxi2pi-M2(x)
Среднее квадратическое отклонение:
σ=i=1nxi2pi-M2(x)=Dx
Результаты расчета показателей представим в форме таблицы 2.
Таблица 2. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
xi
pi
xipi
xi2
xi2pi
1 2 3 4 5
0 0,9391 0,0000 0,0000 0,0000
4 0,0057 0,0228 16,0000 0,0912
8 0,0549 0,4392 64,0000 3,5136
12 0,0003 0,0036 144,0000 0,0432
ИТОГО: 1 0,4656
3,648
Получим:
Mx=0,4656
Dx=3,648-0,46562=3,4312
σ=3,4312=1,8523
Сделаем вывод: среднее значение случайной величины “стоимость восстановления прибора” равно 0,4656 денежных единиц со среднеквадратическим отклонением 1,8523.
Построим модель найденной случайной величины для двадцати приборов, полученных методом жребия.
Введем новые показатели:
rj – случайные числа, полученные методом жребия и равномерно распределенные на интервале 0,1.
zj – моделируемые значения случайной величины
В нашем случае правило моделирования будет иметь следующий вид:
=0 при rj≤0,9391
=4 при 0,9391<rj≤0,9448
=8 при 0,9448<rj≤0,997
=12 при rj>0,997
Представим полученные данные в форме таблицы с интервалами.
Таблица 3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
