Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.
2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитать параметры линейных парных регрессий для всех факторов x.
4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерия Фишера. Выбрать лучшую модель.
5. С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего показателя y при уровне значимости а = 0,1, если прогнозное значение фактора составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения y, результаты прогнозирования.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или включения), построить модель формирования объема годовой прибыли за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оценить качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆ - коэффициентов.
Решение
1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.
Для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции используем пакет анализ Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Корреляция» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 1).
right191135Рис.1. Ввод параметров инструмента «Корреляция»
Получаем матрицу парных коэффициентов корреляции таблица 2.
Таблица 2
Матрица парных коэффициентов корреляции
Y
X1
X2
X3
Y
1
X1
0,920 1
X2
- 0,580 - 0,561 1
X3
- 0,692 - 0,819 0,674 1
Исходя из полученных данных можно сделать вывод о том, что (у) наиболее тесно связан с фактором (x1), так как между ними прослеживается заметная прямая весьма высокая связь, так как коэффициент парной корреляции равен 0,920, что по шкале Чеддока входит в интервал 0,9 < rxy < 1. Коэффициент корреляции (у) и фактора (x2), входит в интервал 0,5 < rxy < 0,7, что отражает наличие обратной заметной связи, можно сделать вывод о том, что результат менее зависим от данного фактора, чем от фактора (x1). Между (у) и фактором (x3) также прослеживается обратная заметная связь.
Оценим статистическую значимость коэффициентов корреляции на уровне значимости a = 0,05, используя t - статистику Стьюдента. Выдвигаем гипотезы: H0: rxy= 0, нет линейной взаимосвязи между переменными; H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными.
Определяем наблюдаемые значения t - статистики Стьюдента для каждого парного коэффициента корреляции, по следующей формуле:
tнабл=rxy×n-m-11-rxy2, (11)
где rxy – парный коэффициент корреляции;
m – количество объясняющих переменных;
n – количество наблюдений.
tнаблrx1y=0,920×9-1-11-0,9202=6,205;
tнаблrx2y=-0,580×9-1-11--0,5802=-1,884;
tнаблrx3y=-0,692×9-1-11--0,6922=-2,536.
Заносим результаты расчетов в дополнительный столбец корреляционной таблицы (таблица 3).
Таблица 3
Матрица парных коэффициентов корреляции и t-статистика Стьюдента
Y
X1
X2
X3
t-статистика
Y
1
X1
0,920 1
6,205
X2
- 0,580 - 0,561 1
- 1,884
X3
- 0,692 - 0,819 0,674 1 - 2,536
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α = 0,05 и степенями свободы k=9-2=7, либо пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х», заполнив необходимые поля диалогового меню, находим tкрит=2,365.
Таким образом, поскольку |tнабл ryx1|=6,205 > tкрит = 2,365, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, парный коэффициент корреляции (у) и (x1) статистически - значим и на уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи, которая является достоверной. Поскольку |tнабл ryx3|=2,536 >tкрит= 2,365, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, парный коэффициент корреляции (у) и (x3) статистически - значим и на уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи, которая является достоверной. Парный коэффициент корреляции результативного признака (у) с факторам x2 статистически не значим, так как |tнабл ryx2|=1,884 <tкрит = 2,365, что говорит о том, что на основании выборочных данных нет оснований утверждать, что зависимость между y и x2 достоверна.
Следовательно, наиболее тесная и значимая зависимость наблюдается между у и x1.
2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
center139954000На основании рассмотренной выше матрицы парных коэффициентов корреляции было установлено, что (y) наиболее тесно связанного с фактором (x1). Построим поле корреляции, описывающее данную взаимосвязь, с помощью мастера диаграмм Excel выбираем точечную диаграмму (рисунок 2).
Рис.2. Поле корреляции
На основании полученного корреляционного поля, описывающего взаимосвязь (y) и (x1), можно предположить о наличии прямой, линейной зависимости результативного признака от выбранного фактора вида: y= a + b×x1.
3. Рассчитать параметры линейных парных регрессий для всех факторов x.
Расчет параметров линейной парной регрессии у и фактора x1 осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню.
right800100Результаты построения парной линейной регрессии у и фактора x1 представлены на рисунке 3.
Рис.3. Вывод итогов регрессии у и фактора x1
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии, описывающее зависимость (y) от фактора (x1), имеет вид: y = 34,613 + 0,816 ×x1.
Полученное уравнение парной линейной регрессии, показывает, что при увеличении фактора x1, на 1 ед. изм. у в среднем увеличивается на 0,816 ед. изм.
Расчет параметров линейной парной регрессии у и фактора x2 осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню.
Результаты построения парной линейной регрессии у и фактора x2 представлены на рисунке 4.
right000Рис.4. Вывод итогов регрессии у и фактора x2
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии, описывающее зависимость (y) от фактора (x2), имеет вид: y = 229,186-0,998 ×x2.
Полученное уравнение парной линейной регрессии, показывает, что при увеличении фактора x2, на 1 ед
. изм. у в среднем снижается на 0,998 ед. изм.
Расчет параметров линейной парной регрессии у и фактора x3 осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню.
left62674500Результаты построения парной линейной регрессии у и фактора x3 представлены на рисунке 5.
Рис.5. Вывод итогов регрессии у и фактора x3
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии, описывающее зависимость (y) от фактора (x3), имеет вид: y = 133,175-0,501 ×x3.
Полученное уравнение парной линейной регрессии, показывает, что при увеличении фактора x3, на 1 ед. изм. у в среднем снижается на 0,501 ед. изм.
4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерия Фишера. Выбрать лучшую модель.
Коэффициент детерминации определен ранее с помощью пакета анализа «Регрессия».
Значения коэффициентов детерминации показывают:
Уравнение №1 объясняет вариацию у на 84,6% вариацией фактора x1. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - хорошая.
Уравнение №2 объясняет вариацию у на 33,7% вариацией фактора x2. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя.
Уравнение №3 объясняет вариацию у на 47,9% вариацией фактора x3. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя.
Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации. Для этого проведем дополнительные расчеты в форме «Вывод остатков», полученной с помощью пакета анализа «Регрессия».
Расчет средней ошибки аппроксимации для уравнения №1 представлен в таблице 4.
Таблица 4
Расчет средней относительной ошибки аппроксимации для уравнения №1
Наблюдение Предсказанное y Остатки относительные погрешности
1 52,564 - 2,564 5,128
2 59,092 - 5,092 9,429
3 50,932 9,068 15,113
4 60,724 1,276 2,058
5 70,515 - 0,515 0,736
6 62,356 -8,356 15,474
7 77,043 6,957 8,282
8 80,307 1,693 2,064
9 88,467 -2,467 2,868
среднее 6,795
Расчет средней ошибки аппроксимации для уравнения №3 представлен в таблице 5.
Таблица 5
Расчет средней относительной ошибки аппроксимации для уравнения №3
Наблюдение Предсказанное y Остатки относительные погрешности
1 54,254 -4,254 8,507
2 60,239 -6,239 11,553
3 74,204 - 14,204 23,673
4 58,244 3,756 6,058
5 68,219 1,781 2,544
6 70,214 - 16,214 30,026
7 64,229 19,771 23,537
8 74,204 7,796 9,507
9 78,194 7,806 9,077
среднее 13,832
Расчет средней ошибки аппроксимации для уравнения №2 представлен в таблице 6.
Таблица 6
Расчет средней относительной ошибки аппроксимации для уравнения №2
Наблюдение Предсказанное y Остатки относительные погрешности
1 57,976 - 7,976 15,953
2 55,971 -1,971 3,650
3 59,982 0,018 0,030
4 65,998 - 3,998 6,448
5 67,000 3,000 4,285
6 70,008 - 16,008 29,645
7 65,998 18,002 21,431
8 70,008 11,992 14,624
9 89,059 - 3,059 3,556
среднее 11,069
Таким образом, на основании рассчитанной средней ошибки аппроксимации модели №1 можно сказать, что в среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 6,795%. Поскольку ошибка уравнения №1 є (5%; 15%), то данное уравнение имеет удовлетворительную точность. Средняя ошибка аппроксимации уравнения №2 и №3 так же имеет значение, входящее в диапазон (5%; 15%), что говорит об удовлетворительной точности уравнения.
Оценим статистическую значимость уравнений парной линейной регрессии с помощью F-критерия Фишера. Значения F-статистики определены ранее с помощью пакета анализа «Регрессия».
Критическое значение F-критерий Фишера, необходимо определить на уровне значимости a = 0,05, используя таблицу распределения Фишера или встроенную функцию Excel «FРАСПОБР» заполнив необходимые поля диалогового меню. В результате получаем: Fтабл (0,05; 1; 9-1-1=7) =5,591.
Поскольку для уравнения регрессии №1 фактическое значение Fфакт= 38,508 > Fтабл= 5,591, то уравнение признается статистически значимым (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна). Использование уравнения №1 в качестве регрессии целесообразно, так как зависимая переменная у достаточно хорошо описывается включенным в модель фактором x1. Поскольку для уравнения регресси №2 фактическое значение Fфакт = 3,550 < Fтабл = 5,591, то уравнение признается статистически незначимым (найденная оценка уравнения регрессии статистически ненадежна). Использование уравнения №2 в качестве регрессии нецелесообразно, так как зависимая переменная у недостаточно хорошо описывается включенным в модель фактором x2. Поскольку для уравнения регресси №3 фактическое значение Fфакт = 6,431 > Fтабл = 5,591, то уравнение признается статистически значимым (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна). Использование уравнения №3 в качестве регрессии целесообразно, так как зависимая переменная у достаточно хорошо описывается включенным в модель фактором x3.
Для удобства оценки качества модели представим рассчитанные данные в виде таблицы 7.
Таблица 7
Выбор лучшей модели
Модель R² Е(ср.отн.) F
y= 34,613 + 0,816×x1
0,846 6,795 38,508
y= 229,816 - 0,998 ×x2
0,337 13,832 3,550
y= 133,175 - 0,501 ×x3
0,479 11,069 6,431
На основании проведенной оценки качества моделей с помощью коэффициента детерминации, средней ошибки аппроксимации и критерия Фишера, наилучшей моделью признана первая модель, описывающая парную линейную зависимость у от фактора x1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
