Расчеты на прочность и жесткость при кручении

I. Определение внутренних усилий и напряжений
Рис. 4
В защемлении возникает опорный момент M (рис. 4, а), вычислять который нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая вал со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом участке, составляя сумму моментов относительно продольной оси вала:
TI=-M1=-50 кНм;
TII=-M1=-50 кНм;
TIII=-M1-M2=-50-40=-90 кНм;
TIV=-M1-M2+M3=-50-40+45=-45 кНм.
Строим эпюру внутренних усилий (рис. 4, б).
Проверка
Сечениям, к которым приложена пара сил, на эпюре T соответствуют скачки на величину приложенного момента и в направлении его действия.
Сечение m:
∆Tm=TI-0=-50-0=-50 кН=-M1 скачок в минус.
Сечение h:
∆Th=TIII-TII=-90+50=-40 кН=-M2 скачок в минус.
Сечение g:
∆Tg=TIV-TIII=-45+90=45 кН=M3 скачок в плюс.
Определяем касательные напряжения на каждом участке:
τI=TIWpI=-50∙16π∙d3=-800 кНмπ∙d3;
τII=TIIWpII=-50∙16π∙d3=-800 кНмπ∙d3;
τIII=TIIIWpIII=-90∙16π∙2d3=-180 кНмπ∙d3;
τIV=TIVWpIV=-45∙16π∙2d3=-90 кНмπ∙d3.
Определив касательные напряжения, приходим к выводу, что опасными являются участки I и II . Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет.
II. Проектный расчет
Из условия прочности при кручении находим требуемое значение полярного момента сопротивления поперечного сечения:
τ=TWp≤τ⇒Wp≥Tτ=50∙10395∙106=5,26∙10-4 м3.
Поскольку
Wp=π∙d316,
то
d≥316∙Wpπ=316∙5,26∙10-43,14=0,1389 м.
Принимаем полученное значение диаметра вала, округлив его до стандартного значения: d=140 мм;D=280 мм.
Вычисляем фактические касательные напряжения на каждом участке:
τI=TIWpI=-50∙16π∙d3=-50∙103∙163,14∙0,143=-92,85∙106 Па=-92,85 МПа;
τII=TIIWpII=-50∙16π∙d3=-50∙103∙163,14∙0,143=-92,85∙106 Па=-92,85 МПа;
τIII=TIIIWpIII=-90∙16π∙2d3=-90∙103∙163,14∙0,283=-20,89∙106 Па=-20,89 МПа;
τIV=TIVWpIV=-45∙16π∙2d3=-45∙103∙163,14∙0,283=-10,45∙106 Па=-10,45 МПа.
Строим эпюру касательных напряжений (рис