Расчет стержневой конструкции на устойчивость. Различные варианты закрепления стержня и варианты его поперечных сечений показаны на рис

Построение графика σкр=f (λ)
При построении графика fкр = f (λ) воспользуемся формулами:
- для прямой Ясинского σкр =a +b·λ;
- для гиперболы Эйлера
σкр=π2∙Eλ2
где коэффициенты a и b заданы в табл. 23; λ - гибкость стержня. Подставляя в первую формулу σкр =σт , а во вторую σкр =σпц получим:
λ0=a-σтb=450-3601,67=53,9
λпред=π2∙Eσпц=π2∙2∙105300=81,1
При гибкостях 0<λ< λ0 стержень настолько короткий, что разрушается при потере прочности, поэтому в этом случае можно принять σкр= σт . При гибкостях λ0<λ<λпред стержень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластичной области, где график очерчен прямой Ясинского . При λпред<λ стержень также теряет устойчивость, но в это случае график очерчен гиперболой Эйлера.
Подбор неравнобоких уголков.
Первое приближение
Минимальный размер сечения определяем из условия прочности на сжатие по закону Гука:
σ=PF≤σ;
σ=σт[nу]=3602,7=133,3 МПа
F=Pσ=200∙103133,3∙106=15,0∙10-4м2=15см2
Сечение состоит из двух неравнобоких уголков, то площадь сечения одного уголка F1 ≥ 7,5см2. По ГОСТ 8510-86 выбираем неравнобокий уголок 65х50х7 с F1 = 7,62 см2.
Неравнобокий уголок имеет следующие размеры:
h = 65 мм, b = 50 мм, 𝛿=7мм.
Iz1= 16,05 cм4 , Iy1= 31,32 cм4, y0 = 1,34 cм
Для заданного сложного поперечного сечения, состоящего из двух неравнобоких уголков, как показано на рисунке, моменты инерции относительно главных центральных осей равны
Iy=2∙Iy1=62,64см4
Iz=2∙Iz1+2F1∙y02=2∙16,05+2∙7,62∙1,342=59,46см4
Минимальный момент инерции равен
Imin=Iz=59,46см4
Минимальный радиус инерции сечения равен
imin=Imin2∙F1=59,462∙7,62=1,98 см
Коэффициент приведения длины Ясинского для данного типа закрепления μ=1
Определим гибкость стержня
λ=μ∙Limin=1∙3001,98=151,5
σкр=π2∙Eλ2=3,142∙2∙105151,52=85,9 МПа
Действительное напряжение равно
σ=PF=200∙1032∙7,62∙10-4=131,2 МПа
Действительный коэффициент запаса устойчивости равен
nу=σкрσ=85,9 131,2=0,65
Второе приближение
Выбираем больший номер уголка, 80х60х7 с F1 = 9,42 см2, с характеристиками:
h = 80 мм, b = 60 мм, 𝛿=7 мм.
Iz1= 28,64 cм4 , Iy1= 59,61 cм4, y0 = 1,53 cм
Далее повторяем расчет при этих данных:
Iy=2∙Iy1=119,22 см4
Iz=2∙Iz1+2F1∙y02=2∙28,64+2∙9,42∙1,532=101,38 см4
Минимальный момент инерции равен
Imin=Iz=101,38 см4
Минимальный радиус инерции сечения равен
imin=Imin2∙F1=101,38 2∙9,42=2,32 см
λ=μ∙Limin=1∙3002,32=129,3
σкр=π2∙Eλ2=3,142∙2∙105129,32=117,9 МПа
Действительное напряжение равно
σ=PF=200∙1032∙9,42∙10-4=106,2 МПа
Действительный коэффициент запаса устойчивости равен
nу=σкрσ=117,9 106,2=1,11>1