Расчет статически неопределимых балок
Для статически неопределимой балки постоянного поперечного сечения требуется:
Построить эпюры изгибающих моментов Ми, и поперечных сил Q.
Подобрать номер прокатного двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям при [σ] =160 МПа.
Изобразить вид упругой оси балки исходя из эпюры изгибающих моментов и условий закрепления балки.
Данные для расчета приведены в табл.17 и рис.14.
Решение
Выбираем по таблице 17 исходные данные согласно варианта:
№ схемы Внешняя нагрузка Длина участка балки, м
q, кН/м F,kH
М,кНм
а b с
2 15 30 50 1,0 2,2 1,8
На отдельной странице чертим расчетную схему с указанием исходных данных (Рис. 14, а).
Решаем статическую сторону задачи. Определяем степень статической неопределимости системы: n=R-y=4-3=1;
где R=4 – количество неизвестных реакций связи (НА, RА,RВ,RС);
у=3– количество независимых уравнений равновесия для плоской системы.
Система один раз статически неопределима.
Решаем геометрическую сторону задачи. Для этого выбираем основную систему. Основную систему выбираем в виде двух шарнирно опертых балок (Рис.14, б) путем разреза балки шарниров под опорой В. Такая основная система для многопролетной балки называется рациональной.
Физическая сторона задачи. Составляем уравнение совместности деформации балки исходя из того, что за лишнее неизвестное принимаем изгибающий момент во введенном шарнире. Тогда исходя из непрерывности упругой линии балки φВХ1=φВF, уравнение совместности деформации в форме канонического уравнения метода сил будет иметь вид
δ11Х1+∆1F=0,
где Х1- искомый изгибающий момент в опорном сечении Б; δ11- угловое перемещение (угол поворота поперечного сечения) в опорном сечении Б от Х1=1; ∆1F – угловое перемещение (угол поворота поперечного сечения) в опорном сечении Б от внешней нагрузки.
Для определения коэффициентов необходимо построить эпюры изгибающих моментов от единичного момента Х1=1 и от внешней нагрузки в основной системе.
Прикладываем к основной системе единичный момент Х1=1 (Рис.108, в). Балку представляем состоящей из двух балок. Рассмотрим левую часть балки основной системы. Определяем из уравнений равновесия реакции опор для левой части балки.
mBF=0; Х1-RB∙(а+b)=0
RB=Х1(а+b)=13,2
Рассмотрим правую часть балки основной системы. Определяем из уравнений равновесия реакции опор для правой части балки.
mB(F)=0; -Х1+RC∙c=0
RC=Х1c=11,8
center1351400
Рис.14 – Расчетные схемы и эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для статически неопределимой балки.
Плюс RВ показывает, что реакция опоры направлена правильно
. Делаем проверку. Составим уравнение моментов для всей балки относительно опоры В:
MB=0; RA∙(a+b)-RBc-Х1+Х1=0;
13,2∙3,2-11,8∙1,8-1+1=0
Реакции опор RA и RВ определены верно. Учитывая, что левая часть балки имеет только один участок, изгибающий момент на нем будет равен:
М1=RA∙z; 0≤z≤3,2 м.
При z=0; М1=0; При z=3,2 м; М1=RA∙3,2=13,2∙3,2=1 .
Рассмотрим правую часть балки основной системы. Учитывая, что правая часть балки имеет только один участок, изгибающий момент на нем будет равен:
М1=RС∙z; 0≤z≤1,8 м.
При z=0; М1=0; При z=1,8 м; М1=RС∙1,8=11,8∙1,8=1 .
По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов от единичного момента Х1=1 (Рис.14, г).
Прикладываем к основной системе внешнюю нагрузку (Рис.14, д). Балку представляем состоящей из двух балок. Рассмотрим левую часть балки основной системы, на которую действует только распределенная нагрузка. Определяем из уравнений равновесия реакции опор для левой части балки.
mAF=0; -q∙2,222+RA∙(а+b)=0
RB=q∙2.222∙(а+b)=15∙2.222∙3,2=11,34 kH;
Определяем изгибающий момент на левом участке длиной а:
МF=RA∙z; 0≤z≤ м.
При z=0; МF=0; При z=1 м; МF=RA∙1=11,34 кН∙м;
Определяем изгибающий момент на левом участке длиной b:
МF=RA∙a+z-q∙z22; 0≤z≤2,2 м.
При z=0; МF=RA∙a=11,34 кН∙м; При z=2,2 м; МF=RA∙2,2-q∙122=11,34∙2,2-15∙2,222=0;
Рассмотрим правую часть балки основной системы. Определяем из уравнений равновесия реакции опор для левой части.
mBF=0; RC∙c-M=0
RC=Mc=501,8=27,78 kH;
Изгибающий момент на правом участке длиной с равен:
МF=RC∙z2; 0≤z≤1,8 м.
При z=0; МF=0;
При z=1,8 м; МF=RC∙1,8=27,78∙1,8=50 кН∙м.
По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов МF от внешней нагрузки (Рис.14, е).
Определение коэффициентов δ11 и ∆1F выполняем по формуле Мора.
Определяем коэффициент
δ11=М1х М1==1EIx13∙1∙1∙3,2+13∙1∙1∙1,8=53EIx;
Определяем коэффициент
∆1F =МFх М1=1EIx13∙11,34∙0,3125∙1+16∙11,34∙2,2∙(1+2∙0,3125+13∙9,075∙2,2∙1+0,3125+13∙50∙1∙1,8=46,67EIx.
Значение X1 определяем из канонического уравнения метода сил:
53EIx∙X1+46,67EIx=0; X1=-46,67∙35=-28,01 кН∙м.
Строим истинную эпюру изгибающих моментов от X1 умножая значение ординаты единичной эпюры М1 на значение Х1=-28,01 кН∙м (Рис.14, ж) и складывая ее алгебраически с эпюрой изгибающих моментов от действующей нагрузки в основной системе получим окончательную (расчетную эпюру изгибающих моментов (Рис.14, з).
Ординаты истинной эпюры поперечных сил Q могут быть определены для каждого участка по формуле:
Qлевправ=±q∙lуч2+Мправ-Млевlуч;
где q- интенсивность распределенной нагрузки на рассматриваемом участке (если нагрузка отсутствует, то q=0);
lуч- длина рассматриваемого участка;
Мправ, Млев- ординаты моментов на правом и левом конце участка, которые берутся со своими знаками
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
