Расчёт статически неопределимой рамы по методу сил

Определение степени статической неопределимости рамы
Степень свободы:
W=3Д-2Ш-С0=3·1-2·0-5=-2
В рассматриваемой раме пять реактивных усилий. Следовательно, рама два раза статически неопределима.
n=2 – степень статической неопределимости
Выбор основной и эквивалентной системы
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2 Варианты основной системы
На рисунке 2 приведены все возможные варианты основной системы для рассчитываемой рамы.
Из приведённых на рисунке 2 основных систем выбираем систему а), т.к. она является наиболее рациональной, то есть простой и удобной для расчета.
Основная система, к которой приложены заданные внешние силы и реакции отброшенных связей, эквивалентна заданной раме, т.е. в ней возникают такие же внутренние силовые факторы и такие же перемещения, как и в заданной раме.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3 Эквивалентная система
Составление канонических уравнений метода сил
В заданной раме не может быть перемещений в направлениях имеющихся в ней абсолютно жёстких связей, следовательно, и в эквивалентной системе перемещения в направлениях отброшенных связей, вызванные действием заданных сил и искомых лишних неизвестных xi, должны быть равны нулю. Иными словами, реакции отброшенных связей xi должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равнялись бы нулю.
Математическим выражением сформулированного положения являются уравнения перемещений:
σ11x1+σ12x2+Δ1p=0,σ21x1+σ22x2+Δ2p=0.
Уравнения перемещений, представленные в этой форме, носят названия канонических уравнений метода сил.
Канонические уравнения записаны для рамы с двумя лишними неизвестными.
Построение эпюр изгибающих моментов в принятой основной системе от заданных нагрузок и единичных усилий. Определение коэффициентов канонических уравнений
Свободные члены канонических уравнений и все коэффициенты являются обобщёнными перемещениями в эквивалентной системе в направлении i-той (указанной первым индексом) лишней неизвестной обобщённой силы xi:
- от действия всех заданных обобщённых сил P,
– от каждой единичной лишней неизвестной обобщённой силы, указанной вторым индексом.
Все эти обобщённые перемещения можно определять с помощью интегралов Мора, которые на прямолинейных участках рамы вычисляют по способу Верещагина.
Нагружая основную систему последовательно заданной нагрузкой (рисунок 4, а), единичными силами =1 (рисунок 4, в), =1 (рисунок 4, д), строим для каждого из этих состояний эпюру изгибающих моментов . Перед построением эпюр при необходимости определяем реакции опор основной системы. Грузовая и единичные эпюры изгибающих моментов для основной системы показаны на рисунке 4, б, г, е.
По способу Верещагина интеграл Мора для отдельного участка рамы вычисляется как делённое на жесткость поперечного сечения произведение площади нелинейной эпюры изгибающих моментов, взятую под центром тяжести нелинейной. Таким образом, при применении способа Верещагина вычисление обобщённого перемещения ведётся по формуле:
σik=wiykEJ
где wi – площадь нелинейной эпюры изгибающих моментов Mi;
yk – ордината линейной эпюры изгибающих моментов Mk, соответствующая центру тяжести нелинейной;
EJ – жёсткость поперечного сечения данного участка рамы.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 4 Грузовая и единичные эпюры для основной системы
В случае постоянной для всех стержней рамы жёсткости поперечных сечений значения всех коэффициентов канонических уравнений могут быть сокращены на величину этой жёсткости. В этом случае коэффициенты и определяются простым перемножением эпюр:
Вычислим коэффициенты канонических уравнений для принятой эквивалентной системы.
Сначала определим главные перемещения ; для этого перемножим эпюры изгибающих моментов от единичных сил (единичные эпюры M1,M2). Главные перемещения всегда положительны.
σ11=12⋅4⋅4·23⋅4+4⋅5⋅4=101,33;σ22=12⋅4⋅4⋅23⋅4+4⋅5⋅4=101,33;
Для определения побочных перемещений σik единичную эпюру изгибающих моментов с первым индексом умножаем на единичную эпюру со вторым индексом . Побочные перемещения могут быть как положительными, так и отрицательными; в частных случаях некоторые из побочных перемещений могут быть равны нулю. На основании принципа взаимности перемещений σ12=σ21, и т.д.; вообще σik=σki.
σ12=σ21=-4⋅5⋅4=-80;
Свободные члены канонических уравнений или грузовые перемещения Δip определяем перемножением соответствующей единичной эпюры изгибающих моментов на грузовую эпюру Mp. Грузовые перемещения также, как и побочные, могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Δ1p=26-2⋅4,8⋅4-4,8⋅2+4,8⋅2,5⋅4+3⋅2,5⋅4=62;
Δ2p=-4,8⋅2,5⋅4-3⋅2,5⋅4++46(-4·9,6-4⋅2,4⋅2)]=-116,4
Ордината 2,4 во втором слагаемом последней скобки представляет собой среднюю ординату f квадратной параболы. Величину этой ординаты можно получить из выражения:
f=9,62-ql28=4,8-1,2⋅428=2,4
Определение лишних неизвестных реакций опор статически неопределимой рамы
Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения и получаем систему уравнений с лишними неизвестными реакций опорных закреплений статически неопределимой рамы:
101,33x1-80x2+62=0-80x1+101,33x2-116,4=0
Решая эту систему, находим
X1=0,78 т,
X2=1,77 т.
Построение действительных (окончательных) эпюр внутренних силовых факторов для заданной статически неопределимой рамы
На рисунке 5 показана эквивалентная система, но вместо неизвестных x1 и x2 подставлены найденные значения этих усилий