Расчет статически неопределимой рамы методом сил
Вариант 10 - 4
Условие. Заданная расчётная схема рамы показана на рис 1.
32905704925800Рама состоит из прямых стержней АD, DF. DB и FC. A D E F
Стержень АD в точке А опирается на
шарнирно-подвижную опору,
В точках В и С рама опирается на шарнирно-неподвижные опоры. В С
Стержни АD. DВ и DF жестко соединены в точке D,. cтержни DF.и FC – в точке F. Рис. 1
Рама нагружена на участке DF силой F приложенной в точке Е. Стержень CF нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q.
:Жесткость стержней ЕJAF = 2ЕJDB = 2ЕJFC.
Требуется:
-определить степень статической неопределимости и выбрать основную систему метода сил;
- составить систему канонических уравнений, для определения коэффициентов уравнений
- построить единичные (включая суммарную ̅ ) и грузовую эпюру изгибающих моментов;
- используя метод Верещагина вычислить единичные и грузовые коэффициенты и выполнить проверки правильности вычислений;
- решить систему канонических уравнений, проверить правильность вычисления неизвестных;
- определить внутренние усилия в сечениях рамы, построить эпюры внутренних усилий;
-выполнить контроль правильности полученных результатов.
Дано
ℓ = 9 м;h = 6 м;F = 15 кН;q = 4 кН/м
Решение
Определяем длины стержней рамы
AD = ℓ/3 = 9/3 = 3 м;
DE = EF =ℓ/2 = 9/2 = 4.5 м;
DB = EC = ℓ = 9 м.
Изображаем раму в масштабе с указанием длин участков и величины нагрузок (рис. 2. а)
Кинематический анализ и определение степень статической неопределимости рамы
Рама представляет собой геометрически неизменяемую систему, так как перемещения отдельных точек возможны только вследствие деформации ее отдельных частей. Определяем степень статической неопределимости- по формуле Чебышева
W = 3Д – 2Ш – Со, здесьД – число дисков, Д = 1, Ш – число шарниров, Ш = 0Со, - число опорных стержней, Со,= 5W = 3·1 - 2·0 - 5= -2
Таким образом система имеет 2 избыточные связи и дважды статически неопределима. Так как W< 0, то система геометрически неизменяема.
Выбор основной системы метода сил (ОСМС).
ОСМС получаем из заданной расчетной схемы (ЗРС) удалением лишних связей.
В точке А шарнирно-подвижную опору удаляем, шарнирно-неподвижную опору в точке С заменяем шарнирно-подвижной опорой. Получили геометрически неизменяемую статически определимую систему ОСМС (рис 2, б).
30791783566000Загрузив ОСМС заданной нагрузкой и заменив отброшенные связи силами Х1 и Х2, получаем эквивалентную систему метода сил (ЭСМС), (рис. 2. в)
30422317589500
Рис. 2. Заданная (ЗРС). основная (ОС) и эквивалентная (ЭС) системы
Считаем, что определяющим силовым фактором является изгибающий момент, всеми остальными силовыми факторами пренебрегаем.
Составление канонические уравнения метода сил (КУМС).
Так как имеем два неизвестных силовых фактора, то составим два уравнения:
δ11Х1+ δ12Х2 +Δ1Р = 0(1)δ21Х1+ δ22Х2 + Δ2Р = 0(2)
В этих уравнениях:δ11 - перемещение по направлению силы Х1, вызванное действием самой силы Х1:δ12 - перемещение по направлению силы Х1, вызванное действием силы Х2-;Δ1Р - перемещение по направлению силы Х1, вызванное действием нагрузки.Так как фактически в точке А имеется связь, препятствующая перемещению в вертикальном направлении, то сумма перемещений должна равняться нулю.δ21 –перемещение по направлению силы Х2, вызванное действием силы Х1:δ22- перемещение по направлению силы Х2, вызванное действием самой силы Х2; Δ2Р - перемещение по направлению силы Х2, вызванное действием нагрузки.Так как фактически в точке С имеется связь, препятствующая вертикальному перемещению, то сумма перемещений должна равняться нулю.
Определение коэффициентов канонических уравнений метода сил
Для определения коэффициентов КУМС построим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от двух единичных силовых факторов Х1 и Х2., считая, что определяющим силовым фактором является изгибающий момент.
Построение эпюры от действия нагрузки МP
Определяем опорные реакции.
Рассмотрим раму (рис. 2, в без учета сил Х1 и Х2).
Составим уравнение равновесия моментов всех сил относительно опоры С
ΣМС = 0; -F * 4.5 + qℓ * 4.5 + YB * 9 = 0;YB = (F * 4.5 - qℓ*4.5)/9 = (15 * 4.5 – 4*9*4.5)/9 = -10.5 кН
Составим уравнение равновесия моментов всех сил относительно опоры В
ΣМВ = 0; F * 4.5 + qℓ*4.5 – YС*9 = 0;YС = (F * 4.5 + qℓ*4.5)/9 = (15 * 4.5 + 4*9*4.5)/9 = 25.5 кНΣХ = 0; XВ + qℓ = 0; XB = -qℓ = -4*9 = 36 кН;
Итак ХВ = 36 кН; YВ = -10,5 кН; YС = 25,5 кН;
Проверка
ΣY = 0; -F + YВ + YC = -15 -10.5 +25.5 = -25.5 + 25.5 = 0/
Проверка выполняется
Построение эпюры МР
Стержень АD
. МАD = 0; МDA = 0; Стержень DF. МDF = -XBℓ = 36 * 9 = 324 кНм;
МЕD = -YB*4.5 -XB * 9 = -10.5 * 4.5 +36 * 9 = 276.75 кНм;
МFD = -XB * 9 + YA*9 - F·4.5 =36 * 9 – 10.9 * 9 – 15 * 4.5 = 162 кНм;
Стержень FC. МFC = - qℓ *4.5 = -4*6*4.5 =-162 кНм, МСF = 0.Стержень DВ. МD = 0; МDВ = -XBℓ = 36 * 9 = 324 кНм;
Эпюра МР построена на рис. 3, а
Построение единичных эпюр от Х1 и Х2
К основной системе в точке А прикладываем единичную силу F1 =1 (рис. 4, а)
179705-10922000.
Рис. 3. Эпюры внутренних сил в основной системе
Определяем опорные реакции
Составим уравнение равновесия моментов всех сил относительно опоры В
ΣМВ = 0; F1 * 3 – YС*9 = 0;YС = 1 * 3/9 = 0,333
Составим уравнение равновесия моментов всех сил относительно опоры С
ΣМС = 0; F1 * 12 + YB*9 = 0;YB = -1 * 12/9 = -1,333ΣХ = 0; XВ = 0;
Итак ХВ = 0; YВ = -1,333; YС = 0,333 кН;;Проверка
ΣY = 0; 1 – 1,333 + 0,333 = -0,333 + 0,333 = 0;
Проверка выполняется
Построение эпюры М1ед от действия силы F1= 1 Стержень АD. МАD = 0; МDA = 1 * 3 =3; Стержень DF. МDF = 1 * 3= 3;
МFD = 1 * 12 – 1.33 * 9 = 0
Стержень FC. МFC = 0; МСF = 0;Стержень DВ. МDB = 0; МВD = 0;
Эпюра М1ед построена на рис. 4, а
Построение эпюры М2ед от действия силы F2= 1
К основной системе в точке С прикладываем единичную силу F2 =1 (рис. 4, б)
Определяем опорные реакции.
Составим уравнение равновесия моментов всех сил относительно опоры В ΣМВ = 0; YС*9 = 0;YС = 0;Составим уравнение равновесия моментов всех сил относительно опоры С
ΣМС = 0; YB*9 = 0;YB = 0ΣХ = 0; XВ + 1 = 0; XВ = -1
Итак ХВ = -1; YВ = 0; YС = 0 кН;;Проверка
ΣY = 0; 0 = 0;
Проверка выполняется
Построение эпюры М2ед от действия силы F2= 1 Стержень АD. МАD = 0; МDA = 0; Стержень DF. МDF = 1 * 9 = 9; МFD = 1 * 9 = 9;
Стержень FC. МFC = -1 * 9 = -9; МСF = 0;Стержень DВ. МDB = 1 * 9 = 9; МВD = 0;
2603523431500Эпюра М2ед построена на рис. 3, в
Рис. 4. Построение эпюр от единичных сил
Определение коэффициентов КУМС (по правилу Верещагина).
Коэффициент δ11 находим перемножением эпюры М1ед саму на себя
δ11 = М1ед· М1ед ;
δ11= (3 * 3 * 0,5 * 2 * 3/3 + 3 * 9 /2 * 2 *3/3)/(2ЕJ) = 18/(ЕJ);
Коэффициент δ22 находим перемножением эпюры М2ед саму на себя
δ22 = М2ед· М2ед ;
δ22= (9 * 9/2 * 2*9/3+9*9/2 * 2*9/3)/(ЕJ) + 9 * 9/2 * 2*9/3)/(2ЕJ) = 850,5/(ЕJ)
Коэффициент δ12 находим перемножением эпюры М1ед на М2ед
δ12 = δ21 = М1ед* М2ед = 9 * 9/2 * 9 = 121,5/(2ЕJ) = 60,75/(ЕJ);
Коэффициент Δ1Р находим перемножением эпюры М1ед на МР
Δ1Р = М1ед· МР ;
Δ1РАВ= (0,5qа2·а (2/3)а)/ (ЕJ) =1/3 qа4/(ЕJ)
Для перемножения эпюр М1ед на МР и М2ед на Мр разбиваем эпюру Мр на семь частей (рис. 3, а) и находим значения ω и у для каждой из частей:
ω1 = 324 * 9 / 2 = 1458;у1ед1 = 0; у1ед2 = 2/3*9 = 6;ω2 = (324 – 276,75) * 4,5/2 = 106,3;у2ед1 = 7,5/9 *3 = 2,5;у2ед2 = 9;
ω3 = 162 * 4,5 = 729;у3ед1 = 0.75*3=2.25; у3ед2 = 9;
ω4 = (276,75 – 162)* 4,5/2 = 145,7;у4ед1 = ¼*3 = 0,75;у4ед2 = 9;ω5 = (276,75 – 162)* 4,5/2 = 258,2у5ед1 = 2/6*3= 1у5ед2 = 9;
ω6 = 162 * 9 / 2 = 729;у6ед1 = 0;у6ед2 = 1/3*9=6;
ω7 = ql3/12 = 4 * 93/12 = 243;у7ед1 = 0;у7ед2 = 4,5;
Коэффициент Δ1Р находим перемножением эпюры МР на М1ед
Δ1Р = М1ед·* МР = (ω2 у2ед1 + ω3 у3ед1 + ω4 у4ед1 + ω5 у5ед1 )/(2ЕJ);
Δ1Р = (106,3 *2,5 + 729 * 2,25 + 145,7 * 0,75 + 258,2 * 2,1) /(2ЕJ) = = 2273,48/(2ЕJ)
Δ1Р = 1136,74/(ЕJ)
Коэффициент Δ2Р находим перемножением эпюры МР на М2ед
Δ2Р = МР на М2ед = (ω1 у1ед2 + ω6 у6ед2 - ω7 у7ед2 )/(ЕJ) ++ (ω2 у2ед2 + ω3 у3ед3 + ω4 у4ед4 + ω5 у5ед2 )/(2ЕJ) =Δ2Р = (1458*6+ 729*6 – 243*4.5/(ЕJ) + (106.3*9+729*9 +145.7*9 ++ 258.2*9) /(2ЕJ) = 17604,9/(ЕJ)
Δ2Р = 17604,9/(ЕJ)
Таким образом коэффициенты при неизвестных и свободные члены в КУМС равны:
δ11 =18/(ЕJ); δ22 = 850,5/(ЕJ); δ12 = δ21 =60,75/(ЕJ)
Δ1Р = 1136,74/(ЕJ); Δ2Р = 17604,6/(ЕJ)
7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
