Расчет разветвленной электрической цепи переменного тока

Дано: Um=140 B, R1=6 Ом, R2=5 Ом, С1=450мкФ, L1=0,05 Гн,L2=0,03 Гн, f=50Гц
Нанесем на схеме (рис.2.2) обозначение узлов, стрелками направления токов. Исключим для простоты измерительные приборы.
Рис.2.2. Расчетная схема
1.Вычисляем комплексные сопротивления реактивных элементов:
-jXC1=-j12πfC1=-j12π∙50∙450∙10-6=-j7,074=7,074e-j90° Ом
jXL1=j2πfL1=j∙2π∙50∙0,05=j15,708=15,708ej90° Ом
jXL2=j2πfL2=j∙2π∙50∙0,03=j9,425=9,425ej90° Ом
Определяем комплексные сопротивления ветвей:
Z1=R1+jXL1=6+j15,708=16,815ej69,10° Ом
Z2=-jXC1=-j7,074=7,074e-j90° Ом
Z3=R2+jXL2=5+j9,425=10,669ej62,05° Ом
Комплекс полного сопротивления параллельного участка цепи
Z23=Z2∙Z3Z2+Z3=7,074e-j90°∙10,669ej62,05°-j7,074+5+j9,425=75,473e-j27,95°5,525ej25,18°=13,660e-j53,13°=8,196 - j10,928 Ом
Полное комплексное сопротивление цепи
Z=Z1+Z23=6+j15,708+8,196 - j10,928=14,196+j4,78=14,979ej18,61° Ом
Действующее значение входного напряжения (приняв U=U):
U=Um2=1402=98,995 B
Найдем токи и напряжения отдельных участков:
I1=UZ=98,995 14,979ej18,61°=6,609e-j18,61°=6,263 - j2,109 A
Uab=I1·Z23=6,609e-j18,61°·13,660e-j53,13°=90,279e-j71,74° B
I2=UabZ2=90,279e-j71,74°7,074e-j90°=12,762ej18,26°=12,119 + j3,999 A
I3=UabZ3=90,279e-j71,74°10,669ej62,05°=8,462e-j133,79°=-5,856 - j6,109 А
2.По комплексному значению тока источника I1 находим закон изменения тока источника ЭДС.
Мгновенное значение I1 i1=6,6092sinωt-18,61°=9,346sinωt-18,61° A
3.Находим показания приборов в схеме.
Показания амперметра соответствуют действующему значению тока источника ЭДС I1:I1=UZ=98,995 14,979ej18,61°=6,609e-j18,61° A
Таким образом, показания амперметра равны IA=6,609 A
Показания вольтметра равны действующему значению напряжения на индуктивности L2
UL2=I2∙jXL2=12,762ej18,26°∙9,425ej90°=120,282ej108,26° B
Таким образом, показания вольтметра равны UV=120,282 B.
Закон изменения напряжения между точками, к которым подключен вольтметр
uL2=120,2822sinωt+108,26°=170,104sinωt+108,26° B
Показание ваттметра соответствует активной мощности цепи:
W=U·I1·cosφU-φI=98,995·6,609·cos0°-(-18,61°)=620,049 Вт
4.Составим баланс мощностей.
Комплекс полной мощности источника
Sист=U∙I1*,
где I1*=6,609ej18,61° A - комплексно-сопряженный ток
Sист=98,995 ∙6,609ej18,61°=654,258ej18,61°=620,049 + j208,790 ВА
Откуда активная мощность цепи
Pист=620,049 Вт;
реактивная мощность цепи
Qист=208,790 вар
Комплексы мощностей участков:
S1=I12∙Z1=6,6092∙16,815ej69,10°=734,460ej69,10°=262,010 + j686,136 BA
откуда P1=262,010 Вт Q1=686,136 вар
Мощность второй ветви
S2=Uab·I2*=90,279e-j71,74°∙12,762e-j18,26°=1152,141e-j90°=0- j1152,141 BA
откуда P2=0 Вт Q2=-1152,141 вар
I2*- комплексно-сопряженное значение тока I2
Мощность третьей ветвиS3=Uab·I3*=90,279e-j71,74°∙8,462ej133,79°=763,941ej62,05°=358,060 + j674,833 BA
откуда P3=358,060 Вт Q3=674,833 вар
I3*- комплексно-сопряженное значение тока I3
Суммарная активная мощность приемников
Pпр=P1+P2+P3=262,010+0+358,060=620,07 Вт
Суммарная реактивная мощность приемников
Qпр=Q1+Q2+Q3=686,136 -1152,141+674,833=208,828 вар
Сравниваем суммарную мощность источников с суммарной мощностью приемников
Pист=620,049 Вт; Pпр=208,790 Вт
Qист=208,790 вар; Qпр=208,828 вар
Оценим баланс мощностей
Погрешность расчета активной мощности
δакт=Pист-PпрPист=620,049-620,07620,049∙100%=0,003 %
погрешность расчета реактивной мощности
δреакт=Qист-QпрQист=208,790-208,828208,790∙100%=0,018 %С учетом незначительных погрешностей баланс выполняется.
5.Рассчитаем коэффициент мощности
cosφ=PистSист=620,049654,258=0,948
6.Определим характер и параметр элемента, который должен быть включен в электрическую цепь последовательно с источником ЭДС, для того чтобы в ней имел место резонанс напряжений