Расчет переходного процесса методом наложения (интеграл Дюамеля)

Определяем переходную проводимость g(t) для заданной цепи. Для этого рассчитываем переходный процесс операторным методом, учитывая, что на вход подано напряжение U = 1 В.
Так как до коммутации источник отключен от цепи, то i1(0-) = iL(0-) = 0 А. Значит, получили нулевые начальные условия: iL(0-) = iL(0+) = 0 А.
Составляем операторную схему замещения (рис.3.2).
Рис.3.2 – Операторная схема замещения
Находим ток I1p
I1p=U1p(r1+r2∙pLr2+pL)=r2+pLp(pLr2+pLr1+r1r2)=N(p)M(p).
Корни знаменателя p1=0 c-1, p2=-r1r2Lr1+Lr2=-20∙200,2(20+20)=-50 с-1.
Находим производную M'p=2pLr1+Lr2+r1r2.
Вычислим N(p) и M'p при соответствующих корнях:
Np1=r2+p1L=20+0=20;
Np2=r2+p2L=20+-50∙0,2=10;
M'p1=2p1Lr1+Lr2+r1r2=20∙20=400;
M'p2=2p2Lr1+Lr2+r1r2=2-500,2∙20+0,2∙20+20∙20=-400.
По формуле разложения ток i1(t):
i1t=Np1M'(p1)ep1t+Np2M'(p2)ep2t=20400e0∙t+10-400e-50t=0,05-0,025e-50t А.
Переходная проводимость
gt=i1tU=0,05-0,025e-50t 1=0,05-0,025e-50t См . (1)
Находим gt-τ. Заменяем в формуле (1) t на t-τ:
gt-τ=0,05-0,025e-50(t-τ) См.
Определим u'1(τ). Для этого находим производную от заданного напряжения u1(τ) по времени t и в полученном выражении заменяем t на τ. Так как корень характеристического уравнения p = -50 с-1, то постоянная времени цепи τ=1p=150=0,02 с. Тогда время t1=τ=0,02 с и t2=1,5t1=1,5∙0,02=0,03 с. Таким образом, форма входного напряжения u1(t) может быть описана следующим уравнением:
u1t=-3U02 t1t+U0 при t<t1-U02 при t1≤t<t20 при t2≤t. (2)
В первый интервал времени t<t1:
u110=U0=20 В,
u'11t=-3U02 t1=-3∙202 ∙0,02=-1500 Вꞏс,
u'11τ=-1500 Вꞏс.
Во второй и третий интервал времени:
u120=0 В,
u'12t=0 Вꞏс,
u'12τ=0 Вꞏс,
u130=0 В,
u'13t=0 Вꞏс,
u'13τ=0 Вꞏс,
Интеграл Дюамеля:
i1t=u10gt+0tu'1(τ)g(t-τ)dτ (3)
Для первого интервала времени 0≤t<t1:
i1t=u10gt+0tu'11τgt-τdτ=20∙0,05-0,025e-50t+
+0t-1500∙0,05-0,025e-50t-τdτ=
=1-0,5e-50t-15000t0,05-0,025e-50t-τdτ=
=1-0,5e-50t-15000,05τt0-0,025∙e-50t∙e50τ50t0=
=1-0,5e-50t-75t+0,75-0,75e-50t=1,75-75t-1,25e-50t А.
Для второго интервала времени t1≤t<t2:
i1t=u10gt+0t1u'11τgt-τdτ+u12t1-u11t1gt-t1+
+t1tu'12τgt-τdτ,
где слагаемое u12t1-u11t1gt-t1 обусловлено скачком напряжения от u11t1 до u12t1 в момент времени t1