Расчет на прочность плоской статически неопределимой рамы методом перемещений

1. Кинематический анализ и определение степени кинематической неопределимости рамы
Рама представляет собой геометрически неизменяемую систему, так как перемещения отдельных узлов возможны только вследствие деформации ее отдельных частей. Стержень КЕ не может перемещаться ни в угловом, ни в линейном направлениях, так как в точке К он имеет шарнирно-подвижную опору, а в точке Е жесткую. заделку. ВК может перемещаться только в результате деформации. Стержни АB и ВC также не могут перемещаться ни в угловом, ни в линейном направлениях, так как точка В неподвижна, в точке А имеется шарнирно-подвижная опора, а в точке С подвижное защемление.
Определяем степень кинематической неопределимости n.Степень кинематической неопределимости n = nу + nл гдеnу – число жестких узлов, nу= 1 nл - число независимых неизвестных линейных смещений узлов системы. Анализ показывает, что точки К и Е смещаться не могут ни в вертикальном, ни в горизонтальном направлении. Узел В и сечения А и С могут смещаться в вертикальном направлении на одинаковую величину при изгибе стержня ВК. Поэтому nл = 1 и n = 1 + 1 = 2
2. Назначение основной системы метода перемещений (ОСМП)
64262001024128027
0027
Основная система метода перемещений получается не отбрасыванием лишних связей, как это делается в методе сил, а наоборот, введением дополнительных (фиктивных) связей, закрепляющих узлы от их возможных угловых и линейных смещений, которые были выявлены ранее (при определении степени кинематической неопределимости n). Во все жесткие узлы, которые могут поворачиваться, устанавливаются дополнительные (фиктивные) жесткие заделки, закрепляющие их от поворота, а все узлы (жесткие и шарнирные, которые могут линейно смещаться закрепляются от этих смещений с помощью постановки дополнительных (фиктивных) линейных связей.Для получения ОСМП в узел К устанавливаем дополнительную (фиктивную) жесткую заделку, закрепляющую его от поворота.В опоре С устанавливаем дополнительную шарнирно-подвижную опору, которая исключаетвертикальное линейное перемещение узла В и сечений А и С. В качестве неизвестных при этом принимаем перемещения этих дополнительных связей (вместе с узлами) и обозначаем их Z1 и Z2, где Z1.- угловое перемещение узла К под действием приложенной нагрузки;Z2.- линейное перемещение узла В и сечений С и А под действием приложенной нагрузки;Таким образом имеем два неизвестных Z1 и Z2Схема ОСМП показана на рис. 2.
5219700812165003. Составление системы канонических уравнений метода перемещений (КУМП).
Так как имеем два неизвестных, то составим два уравнения: r11Z1+ r12Z2 +R1Р = 0(1)
r21Z1+ r22Z2 + R2Р = 0(2)
64287401023874028
0028
В этих уравнениях:r11 – реактивный момент, возникающий в узле К под действием поворота сечения К на угол Z1,= 1;r12- реактивный момент, возникающий в узле К под действием линейного перемещения опоры С на величину Z2,= 1;R1Р - реактивный момент, возникающий в узле К, под действием нагрузки.Так как фактически в точке К никакой заделки нет, то сумма реактивный моментов от действия указанных перемещений должна равняться нулю.r21 – реактивная сила, возникающая в опоре С под действием поворота сечения К на угол Z1,= 1r22- реактивная сила, возникающая в опоре С под действием линейного смещения сечения С на величину Z2,= 1 R2Р - реактивная сила, возникающая в опоре С под действием нагрузки.Так как фактически в точке С нет дополнительной линейной связи, то сумма реактивных усилий от этих перемещений должна равняться нулю.
4 . Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов
канонических уравнений метода перемещений (КУМП).Для определения коэффициентов КУМП построим эпюры изгибающих
моментов для каждого из стержней (которые представляют собой отдельные балочки независимые друг от друга) от действия заданной нагрузки и от двух единичных перемещений: углового Z1 и линейного Z2., считая, что определяющим силовым фактором является изгибающий момент. При этом можно использовать метод сил или воспользоваться таблицами готовых эпюр.
5. Построение эпюры от действия нагрузки МP
5500565511854000Введём общую погонную жёсткость участков i = EJ/2a. Тогда EJ =2ai, EJАВ= EJВС= EJКЕ= 2i, EJВК= i.Схема деформаций участков балки от действия нагрузки дана на рис. 3 а.Рассмотрим участок (балку) АВ. Балка АВ на концах опирается на шарнирыА и В (рис. 2.). и к ней на участке ВF приложена распределённая нагрузка интенсивностью q. Рассмотрим равновесие балки АВ. (Рис. 4). Для определения опорных реакций составим два уравнения равновесия; ΣМА = 0; qa/2·0.75a – RВ а = 0; RВ = 0,75qa2/(2a) = 0,375 qa
ΣМВ = 0; ΣМВ = RA а - qa/2·0.25a = 0; RA = qa2·0.25/(2a) = 0,125 qa
Определяем ординаты эпюры МР на участке АВ:МАВ = 0, МВА = 0, МFА = RA а/2 = 0,125 qa·а/2 = 0,0625 qa2На участке АF эпюра линейна, на участке FА имеет криволинейную форму. В середине участка FА в точке Р МРВ = RВ а/4 -qa/4*а/8 = qa2/16 = 0,0625 qa2
Эпюра построена на рис. 3б.
64166751024699529
0029
В обозначениях моментов здесь и далее первый индекс обозначает точку приложения момента, а второй индекс указывает какому участку эта точка принадлежит.Рассмотрим участок (балку) ВС. Балка ВС в точке В имеет шарнирную опору, а в точке С подвижное защемление. (рис. 2.). На участке ВС приложена распределённая нагрузка интенсивностью q. Для определения ординат эпюр при данном виде нагружения и способе закрепления опор воспользуемся готовыми таблицами (https://studfiles.net/preview/5630538/page:4/).
По таблице для данного вида нагружения и способа закрепления опор находим МСВ = (1/8) qa2 , МВС= 0; МNВ = (1/16) qa2.Эпюра построена на рис. 3б.
Рассмотрим стержень (балку) ВК. Балка ВК в точке В имеет шарнирную опору, а в точке К жесткую заделку и нагружена сосредоточенной силой в точке L. (рис. 2.). По таблице для данного вида нагружения и способа закрепления опор находим: МКВ = 0,3281qa2 , МLB = 0.1289 qa2, Рассмотрим участок (балку) КЕ. Балка ВК в точках В и К жестко закреплена и нагружена сосредоточенным моментом М = qa2 в точке М.
По таблице для данного вида нагружения и способа закрепления опор находим:МКЕ = -qa2/4 , ММК = 0,5 qa2, ММЕ = -0,5 qa2, МЕК = qa2/4,Эпюра МР показана на рис 3б,
6. Построение эпюры от поворота сечения В на угол Z1=1
Схема деформаций от поворота сечения В на угол Z1 дана на рис. 3в.Из схемы видно, что стержни АВ и ВС не испытывают деформаций от от поворота сечения В на угол Z1 . Рассмотрим участок (балку) ВК