Расчет линейной электрической цепи при периодических несинусоидальных напряжениях и токах.
На рисунке 1 показана схема цепи с источником периодической несинусоидальной ЭДС. Форма кривой ЭДС е = f(ωt) изображена на рисунке 2. Амплитуда ЭДС Еm, угловая частота ω и параметры цепи даны в таблице 1.
Требуется:
1. Разложить аналитически в ряд Фурье заданную периодическую несинусоидальную ЭДС е=f(ωt), ограничившись вычислением первых трех гармоник. Написать уравнение мгновенного значения ЭДС. Определить действующее значение заданной несинусоидальной ЭДС.
2. Рассчитать три гармоники тока в неразветвленном участке цепи с источником ЭДС. Записать закон изменения этого тока i=f(ωt). Вычислить действующее значение несинусоидального тока.
3. Построить графики первых трех гармоник тока в неразветвленном участке цепи и суммарную кривую тока, полученную в результате графического сложения этих гармоник.
4. Определить активную, реактивную и полную мощности цепи.
5.Рассчитать коэффициент искажения для несинусоидального тока.
Таблица 1 – Исходные данные
Вариант Форма кривой ЭДС Em,
B ω,
рад/с
r1,
Ом r2,
Ом L,
мГн
С,
мкФ
9 рис. 1, б 130 4000 100 80 20 3
Рисунок 1 – Схема цепи
Рисунок 1б – Форма кривой ЭДС
Решение
Разложить аналитически в ряд Фурье заданную периодическую несинусоидальную ЭДС е=f(ωt), ограничившись вычислением первых трех гармоник. Написать уравнение мгновенного значения ЭДС. Определить действующее значение заданной несинусоидальной ЭДС.
Разложение в ряд Фурье заданной функции е=f(ωt) с точностью до первых трех гармоник уже известно из условия:
Am – это амплитуда заданной функции, равная Em = 100 В.
Тогда:
Учитывая формулы приведения тригонометрических функций:
Тогда амплитудные значения каждой из гармоник:
Em1= 8∙Emπ2 = 8∙130π2=105,48 В
Em3= 8∙Em9π2 = 8∙1309π2=11,72 В
Em5= 8∙Em25π2 = 8∙13025π2=4,22 В
Тогда уравнение мгновенного значения ЭДС:
e(t) = 105,48 sin (4000t) + 11,72 sin (12000t + 180º) + 4,22 sin (2000t)
Действующие значения ЭДС первой, третьей и пятой гармоник соответственно:
E(1) = Em(1)/= 105,48/1.414= 74,6 B
E(3) = Em(3)/= 9/1.414= 8,3 B
E(5) = Em(5)/= 3,25/1,414 = 3,0 B
Тогда действующее значение заданной несинусоидальной ЭДС, учитывая, что постоянная составляющая ЭДС отсутствует:
Е = Е(1)2+Е(3)2+Е(5)2= 74,6(1)2+8,3(3)2+3(5)2=75,12 В
Комплексные амплитуды ЭДС каждой из гармоник:
Ėm(1)= Em(1) ej0 º = 105,48ej0 º = 105,48 B
Ėm(3)= Em(3) ej180 º = 11,72ej180 º B
Ėm(5)= Em(5)ej0º = 4,22ej0º = 4,22 B
Рассчитаем три гармоники тока в неразветвленном участке цепи с источником ЭДС
. Запишем закон изменения этого тока i=f(ωt). Вычислим действующее значение несинусоидального тока.
Находим реактивные сопротивления элементов схемы для каждой из трех гармоник.
Для первой гармоники:
XL(1) = ωL = 4000*0.02 = 80 Ом
XС(1) = 1/(ωС) = 1/(4000*3*10-6) = 83,33 Ом
Для третьей гармоники:
XL(3) = 3ωL = 3*80 = 240 Ом
XС(3) = 1/(3ωС) = 83,33/3 = 27,8 Ом
Для пятой гармоники:
XL(5) = 3ωL = 5*80 = 400 Ом
XС(5) = 1/(5ωС) = 83,3/5 = 16,7 Ом
Найдем комплексные сопротивления цепи для каждой из гармоник:
Z(1)=r1+ jXL1 ∙(r2-jXC1)jXL1 +(r2-jXL1)=100+ j80∙(80-j83,3)j80+(80-j83,3) = 179,86 + 83,33j
Z(1) = 179,86 + 83,33j = 198,2ej24,9º Ом
Z(3)=r1+ jXL3 ∙(r2-jXC3)jXL3 +(r2-jXL3)=100+ j240∙(80-j27,8)j240+(80-j27,8) = 189,58 + 2,36j
Z(3) = 189,58 + 2,36j = 189,6ej0,7º Ом
Z(5)=r1+ jXL5 ∙(r2-jXC5)jXL5 +(r2-jXL8)=100+ j80∙(80-j400)j80+(80-j400) =183,47 + 0,03j
Z(1) = 183,47 + 0,03j = 183,48ej0,01º Ом
По закону Ома найдем комплексные амплитудные значения первых трех гармоник тока в неразветвленной части цепи:
İ m(1)= Ėm(1) /Z(1) = 105,48e0º / 198,2ej24,9º = 0,532-j24,9º = 0,483 – 0,224 j А
İ m(3)= Ėm(3) /Z(3) = 11,72e180º / 189,6ej0,7º = 0,0618ej179,3º = -0,0618 + 0,0008j А
İ m(5)= Ėm(5) /Z(5) = 4,22e0º / 183,47ej0,009º = 0,023e-j0,009º = 0,023 – 0.00 j А
Действующие значения тока I для каждой гармоники:
I(1) = Im(1) /= 0,532/1.414= 0,376 A
I(3) = Im(3) /= 0,0618/1.414= 0,0437 A
I(3) = Im(3) /= 0,023/1.414= 0.0163 A
Действующее значение тока в неразветвленной части цепи:
i = I(1)2+I(3)2+I(5)2= 0,376(1)2+00437(3)2+0,0163(5)2=0,379 A (6)
Зная комплексные амплитуды токов гармоник в показательной форме записи, запишем мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи: I = f(t) = 0,532 sin(4000t – 24,86º) + 0.618 sin(12000t + 179,3º) + +0.023sin(20000t – 0,01º) A
Строим графики первых трех гармоник тока в неразветвленном участке цепи и суммарную кривую тока, полученную в результате графического сложения этих гармоник.
Мгновенные значения каждой из гармоник уже найдены:
i(1)(t) = 0,532 sin(4000t – 24,86º) А
i(3)(t) = 0.618 sin(12000t + 179,3º) А
i(5)(t) =0.023sin(20000t – 0,01º) А
Мгновенное значение несинусоидального тока как сумма составляющих гармоник тоже найдено:
i = f(t) = 0,532 sin(4000t – 24,86º) + 0.618 sin(12000t + 179,3º) + +0.023sin(20000t – 0,01º) A
Графики гармоник и общего тока строим с помощью программы Exel, Графики гармоник строим по функциям (начальные фазы в радианах):
i(1)(t) = 0,532 sin(4000t – 24,86º π/180º) А
i(3)(t) = 0.618 sin(12000t + 179,3º π/180º) А
i(5)(t) =0.023sin(20000t – 0,01º π/180º) А
График результирующего значения тока строится по функции:
i = f(t) = 0,532 sin(4000t – 24,86º π/180º) + 0.618 sin(12000t + 179,3º π/180º) + +0.023sin(20000t – 0,01º π/180º) A
Графики указанных функций, построенные с помощью программы Exel, приведены на рисунке 2е 2.
Рисунок 2 – Графики первой (i(1)(t)), третьей (i(3)(t)) и пятой (i(5)(t)) гармоник, а также результирующего значения несинусоидального тока i(t) (общий ток)
Определяем активную, реактивную и полную мощности цепи.
Активная мощность цепи (постоянная составляющая отсутствует):
P = E(1)*I(1)cos(φE(1) – φI(1)) + E(3)*I(3) cos(φE(3) – φI(3)) + E(5)*I(5) cos(φE(5) – φI(5))
P = 74.6*0.376cos(0º – (-24.9º)) + 8.3*0.044 cos(180º – 179.3º) ++ 3*0.0163 cos(0º – (-0º)) = 25.89 Вт
Реактивная мощность цепи:
Q = 74.6*0.376 sin (0º – (-24.9º)) + 8.3*0.044 sin (180º – 179.3º) ++ 3*0.0163 sin (0º – (-0º)) = 11.8 ВАр
Полная мощность цепи:
S = U*I = 75,12 * 0,379 = 28,45 ВА
Рассчитаем коэффициент искажения для несинусоидального тока.
Коэффициент искажения несинусоидального тока в неразветвленной части цепи:
КИ= I(1)/I = 0,376/0,379 = 0.992
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
