Расчет линейной электрической цепи однофазного синусоидального тока символическим методом

Определяем сопротивления реактивных элементов
XL1=2πfL1=2∙3,14∙50∙80∙10-3=25,12 Ом
XL2=2πfL2=2∙3,14∙50∙30∙10-3=9,42 Ом
XC1=12πfC1=12∙3,14∙50∙450∙10-6=7,077 Ом
Находим величины комплексных сопротивлений ветвей (рис.2.2):
Рис.2.2. Схема замещения
Z1=R1+jXL1-jXC1=20+j25,12 -j7,077=20+j18,043=26,936ej42,06° Ом
Z2=R2+jXL2=15+j9,42 =17,713ej32,13° Ом
Z3=R3=10 Ом
Находим сопротивление между узлами a и b параллельного соединения второй и третьей ветвей:
Zab=Z2∙Z3Z2+Z3=17,713ej32,13°∙1015+j9,42+10=177,13ej32,13°26,716ej20,65°=6,63ej11,48°=6,497 + j1,32 Ом
Общее сопротивление всей цепи:
Z=Z1+Zab=20+j18,043+6,497 + j1,32=26,497+j19,363=32,818ej36,16° Ом
Комплексное действующее напряжение источника составит:
U=Um2ejφ=28022ej30°=280ej30°=242,487 + j140 B
Ток источника составит
I1=UZ=280ej30°32,818ej36,16°=8,532e-j6,16°=8,483 - j0,916 A
Напряжение неразветвленного участка 9первой ветви) цепи составит
U1=I1∙Z1=8,532e-j6,16°∙26,936ej42,06°=229,818ej35,9°=186,162 + j134,759 B
Напряжение неразветвленного участка цепи между узлами a и b
Uab=I1∙Zab=8,532e-j6,16°∙6,63ej11,48°=56,567ej5,32°=56,323 + j5,245 B
Ток второй ветви
I2=UabZ2=56,567ej5,32°17,713ej32,13°=3,194e-j26,87°=2,849 - j1,444 А
Ток третьей ветви
I3=UabZ3=56,567ej5,32°10=5,657ej5,32°=5,633 + j0,525 А
Записываем выражения для мгновенных значений токов и напряжений
i1=I12sinωt+φI1=8,5322sin314t-6,16°=12,066sin314t-6,16°, A
i2=I22sinωt+φI2=3,1942sin314t-26,87°=4,517sin314t-26,87°, A
i3=I32sinωt+φI3=5,6572sin314t+5,32°=8sin314t+5,32°, A
где ω=2πf=2∙3,14∙50=314 рад/с
выражения мгновенных значений на участках составят
u1=U12sinωt+φU1=229,8182sinωt+35,9°=325,012sinωt+35,9°, B
uab=Uab2sinωt+φUab=7,8732sinωt+5,32°=325,012sinωt+5,32°, B
Произведем проверку правильности решения по законам Кирхгофа
по первому закону Кирхгофа для узла «а»
I1-I2-I2=0
8,483 - j0,916-2,849 - j1,444-5,633 + j0,525=0
0,001+j0,003≈0-верно
По второму закону Кирхгофа для контуров (рис.2.2):
для контура I имеем:
I1∙Z1+I2∙Z2=U
8,532e-j6,16°∙26,936ej42,06°+3,194e-j26,87°·17,713ej32,13°=242,487 + j140
229,818ej35,9°+56,567ej5,32°=242,487 + j140
186,162 + j134,759+56,323 + j5,245 =242,487 + j140
242,485+j140,004≈242,487 + j140-верно
для контура II имеем:
-I2∙Z2+I3∙Z3=0
-3,194e-j26,87°·17,713ej32,13°+5,657ej5,32°·10=0
-56,567ej5,32°+56,57ej5,32°=0
-56,323- j5,245+56,326 + j5,245=0
0,003+j0≈0-верно
Баланс активных и реактивных мощностей
Комплексная мощность источника
S=U∙I1*=280ej30°∙8,532ej6,16°=2388,96ej36,16°=1928,780 + j1409,587 BA
где I1* - комплексно-сопряженное значение тока I1 источника
откуда активная мощность источника составляет
Pист=1928,780 Вт
реактивная мощность источника
Qист=1409,587 вар
Суммарная активная мощность приемников составит
Pпр=I12∙R1+I22∙R2+I22∙R2=8,5322∙20+3,1942∙15+5,6572∙10=1928,942 Вт
суммарная реактивная мощность приемников
Qпр=I12∙XL1-XC1+I22∙XL2=8,5322∙25,12-7,077+3,1942∙9,42=1409,54 вар
Таким образом,
Pист≈Pпр, т.е