Пусть наблюдения двух случайных переменных находятся на прямой линии

Σx и σy – стандартные квадратичные отклонения переменных x и y соответственно.
а)
1. covx,y=covx,α+βx=covx,α+covx,βx=0+β∙covx,x=β∙σx2
2 . σy2=covy,y=covα+βx,α+βx=covα,α+2covα,βx+covβx,βx=
=0+0+β2covx,x=β2σx2
б)
одна из формул расчета коэффициента корреляции имеет вид
rxy=β*σxσy
В пункте а).1 доказано, что σy2=β2σx2 , следовательно
rxy=β*σxβ2σx2=знак β*1
Таким образом, при положительном наклоне линии регрессии β>0 и rxy=1, а при отрицательном наклоне (то есть x растет, а y снижается) β<0 и rxy=-1.