Пусть наблюдения двух случайных переменных находятся на прямой линии y=α+βx

А) Для функциональной зависимости y=α+βx справедливо:
y=yn=(α+βx)n=nα+nβxn=α+βx
Используем формулу ковариации:
cov(x,y)=1nx-xy-y=1nx-xα+βx-(α+βx)
cov(x,y)=1nβx-x2=βσx2
Доказано.
Для второго равенства используем формулу дисперсии:
σy2=y-y2n=α+βx-(α+βx)2n
σy2=βx-βx2n=β2x-x2n=β2σx2
Доказано.
б) По формуле выборочного коэффициента корреляции:
r=βσxσy
r=βσx2σy2=βσx2β2σx2=βσx2β2σx2
Т.к