Пусть двумерная случайная величина X,Y – генеральная совокупность, где X – вес (в килограммах), а Y – рост (в сантиметрах) случайно взятого человека.
Для статистической обработки этих данных требуется:
Для величин X и Y составить группированные ряда. На основании этих рядов построить полигон, гистограммы относительных частот и графики эмпирических функций распределения для X и Y.
Вычислить точечные оценки: выборочные средние x и y; несмещенные выборочные средние квадратические отклонения sx и sy.
Проверить гипотезы о нормальном законе распределения случайных величин X и Y при уровне значимости α=0,05.
Найти доверительный интервал для MX,MY,DX,DY с надежностью γ=0,95.
Составить корреляционную таблицу. Вычислить выборочный коэффициент корреляции rв.
Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y. Построить графики этих прямых на одном рисунке с наблюдаемыми точками xi,yi, i=1,…,n и эмпирическими линиями регрессии.
Дана выборочная совокупность объема n=50, где величина xi – вес (в килограммах), а yi – рост (в сантиметрах) i-го человека. Произвести статистическую обработку этих данных согласно заданию.
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
57,3 165 86,3 191 67,4 173 70,0 178 71,3 180
79,0 186 79,2 184 69,7 175 80,8 190 72,4 182
81,7 184 71,4 179 73,4 184 74,6 182 76,7 180
83,9 195 79,7 185 71,0 180 83,7 195 49,2 155
68,7 177 79,8 184 72,9 186 82,6 186 74,1 179
60,7 172 67,3 181 60,7 172 77,1 190 80,4 190
74,3 182 67,4 176 69,6 180 67,3 175 76,9 190
56,8 160 67,2 179 64,8 178 77,8 183 79,0 194
70,1 177 75,8 184 66,1 178 67,5 173 87,1 194
87,8 193 75,6 181 78,0 184 61,5 173 74,4 183
Решение
Для величин X и Y составить группированные ряда. На основании этих рядов построить полигон, гистограммы относительных частот и графики эмпирических функций распределения для X и Y.
Составим группированный ряд для величины X. Для этого определим наибольшее xmax=87,8 и наименьшее xmin=49,2 значения величины X, встречающееся в выборке. Вычислим размах
Rx=xmax-xmin=87,8-49,2=38,6
Число интервалов
r=1+3,3lgn=1+3,3lg50≈6,6066=6
где [a] означает целую часть числа a.
Весь промежуток 49,2;87,8 изменения выборочных данных величина X разобьет на r=6 интервалов. Тогда шаг разбиения hx=Rxr=38,66≈6,433. Чтобы шаг разбиения был удобным, возьмем его равным hx=6,5. Тогда расширение промежутка разбиения составит h∙r-R=6,5∙6-38,6=0,4.
Для определения границ интервалов ai-1, ai, i=1,…,6, сдвинем начало первого интервала в точку a0=xmin-0,42=49,2-0,2=49. Остальные границы определяются так: ai=ai-1+hx, i=1,…,6.
Для каждого i-го интервала ai-1, ai определим его середину xi* по формуле xi*=12ai-1+ai и найдем частоты ni – количество выборочных значений X, попавших в i-й интервал.
Результаты группировки выборочных значений для X сведем в таблицу
Номер интервала
i
Интервалы
ai-1, ai
Середина интервала
xi*
Частоты
ni
Относительные частоты
nin
Накопительные относительные частоты
j=1injn
ninhx
1 [49, 55,5) 52,25 1 0,02 0,02 0,003
2 [55,5, 62) 58,75 5 0,1 0,12 0,015
3 [62, 68,5) 65,25 8 0,16 0,28 0,025
4 [68,5, 75) 71,75 15 0,3 0,58 0,046
5 [75, 81,5) 78,25 14 0,28 0,86 0,043
6 [81,5, 88] 84,75 7 0,14 1 0,022
Используя полученные результаты для xi* и nin (столбец 3-й и 5-й), строим полигон относительных частот
Используя столбец 2-й и 7-й, строим гистограмму относительных частот
Используя столбец 3-й и 6-й, строим график эмпирической функции распределения
Составим группированный ряд для величины Y. Для этого определим наибольшее ymax=195 и наименьшее ymin=155 значения величины Y, встречающееся в выборке. Вычислим размах
Ry=ymax-ymin=195-155=40
Число интервалов
r=1+3,3lgn=1+3,3lg50=6
Весь промежуток 155;195 изменения выборочных данных величина Y разобьет на r=6 интервалов. Тогда шаг разбиения hy=Ryr=406≈6,667. Чтобы шаг разбиения был удобным, возьмем его равным hy=7. Тогда расширение промежутка разбиения составит h∙r-R=7∙6-40=2.
Для определения границ интервалов bi-1, bi, i=1,…,6, сдвинем начало первого интервала в точку b0=ymin-22=155-1=154. Остальные границы определяются так: bi=bi-1+hy, i=1,…,6.
Для каждого i-го интервала bi-1, bi определим его середину yi* по формуле yi*=12bi-1+bi и найдем частоты ni – количество выборочных значений Y, попавших в i-й интервал.
Результаты группировки выборочных значений для Y сведем в таблицу:
Номер интервала
i
Интервалы
bi-1, bi
Середина интервала
yi*
Частоты
mi
Относительные частоты
min
Накопительные относительные частоты
j=1imjn
minhy
1 [154, 161) 157,5 2 0,04 0,04 0,006
2 [161, 168) 164,5 1 0,02 0,06 0,003
3 [168, 175) 171,5 5 0,1 0,16 0,014
4 [175, 182) 178,5 17 0,34 0,5 0,049
5 [182, 189) 185,5 15 0,3 0,8 0,043
6 [189, 196] 192,5 10 0,2 1 0,029
Используя полученные результаты для yi* и min (столбец 3-й и 5-й), строим полигон относительных частот
Используя столбец 2-й и 7-й, строим гистограмму относительных частот
Используя столбец 3-й и 6-й, строим график эмпирической функции распределения
Вычислить точечные оценки: выборочные средние x и y; несмещенные выборочные средние квадратические отклонения sx и sy.
Точечные оценки x, y, sx2,sy2 вычислим о группированным данным
. Для удобства вычисления перейдем к условным вариантам
cx=71,75 , cy=178,5 - середины наиболее часто встречающихся интервалов.
ui=xi*-cxhx , vi=yi*-cyhy
Составим таблицу
Номер интервала, i
ui
ni
uini
ui2ni
vi
mi
vimi
vi2mi
1 -3 1 -3 9 -3 2 -6 18
2 -2 5 -10 20 -2 1 -2 4
3 -1 8 -8 8 -1 5 -5 5
4 0 15 0 0 0 17 0 0
5 1 14 14 14 1 15 15 15
6 2 7 14 28 2 10 20 40
Σ
- 50 7 79 - 50 22 82
Вначале вычислим
u=1ni=16uini=150∙7=0,14
v=1ni=16vimi=150∙22=0,44
su2=nn-11ni=16ui2ni-u2=5050-1∙7950-0,142≈1,59
su=su2=1,59≈1,26
sv2=mm-11mi=16vi2mi-v2=5050-1∙8250-0,442≈1,48
sv=sv2=1,48≈1,22
Искомые оценки
x=u∙hx+cx=0,14∙6,5+71,75=72,66
sx2=hx2∙su2=6,52∙1,59≈67,18
sx≈8,2
y=v∙hy+cy=0,44∙7+178,5=181,58
sy2=hy2∙sv2=72∙1,48=72,52
sy≈8,52
Проверить гипотезы о нормальном законе распределения случайных величин X и Y при уровне значимости α=0,05.
Проверим с помощью критерия χ2 гипотезу H0: распределение генеральной совокупности X имеет нормальный закон Nmx, σx.
Здесь k=2 неизвестные параметра mx и σx (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение) заменяется соответствующими оценками x=72,66 и sx=8,2.
В качестве интервалов возьмем вначале интервалы ai-1, ai, i=1,…,6, приняв a0=-∞, a6=+∞.
Результаты расчетов выборочной величины χв2 приведем в таблице
i
ai-1,ai
ni
zi=ai-xsx
Фzi
pi=Фzi-Фzi-1
npi
ni-npi2npi
1 (-∞, 55,5) 1 -2,09 -0,4817 0,0183 0,915 0,1025
2 [55,5, 62,0) 5 -1,3 -0,4032 0,0785 3,925
3 [62,0, 68,5) 8 -0,51 -0,195 0,2082 10,41
4 [68,5, 75,0) 15 0,29 0,1141 0,3091 15,455 0,0134
5 [75,0, 81,5) 14 1,08 0,3599 0,2458 12,29 0,2379
6 [81,5, +∞) 7 +∞ 0,5 0,1401 7,005 0
Σ - 50 - - 1 50 χв2=0,3538
Пришлось произвести объединение первых трех интервалов из-за малости теоретических частот (должно выполняться npi>5)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
