Провести структурное преобразование САР, превратив систему в одноконтурную

Часть 1-2
Используя правила структурных преобразований, свернём схему к одноконтурной.
Исходная схема:
Звено W1(p) охвачено отрицательной обратной связью; в качестве звена ОС выступает пропорциональное звено с коэффициентом передачи β1. Эквивалентная ПФ контура:
Схема примет вид:
Эквивалентная ПФ последовательно соединённых звеньев W11(p) и W2(p) охвачена отрицательной обратной связью; в качестве звена ОС выступает пропорциональное звено с коэффициентом передачи β2. Эквивалентная ПФ контура:
Схема примет вид:
Схема сведена к одноконтурной. Можно рассчитывать эквивалентные ПФ.
Примечание. Параметр Т|3 обозначим Т33.
Эквивалентная ПФ разомкнутой системы определяется как произведение ПФ всех звеньев, последовательно включенных в контур:
Эквивалентная ПФ замкнутой системы, охваченной единичной отрицательной обратной связью:
Далее подставляем числовые коэффициенты и определяем ПФ разомкнутой и замкнутой системы в окончательном виде:
Часть 3
Разделим числитель и знаменатель ПФ разомкнутой системы на 0,15 – чтобы свободный коэффициент знаменателя разомкнутой системы был равен 1:
Коэффициент передачи разомкнутой системы равен 4.
Разделим числитель и знаменатель ПФ замкнутой системы на 0,75 – чтобы свободный коэффициент знаменателя замкнутой системы был равен 1:
Коэффициент передачи разомкнутой системы равен 0,8.
Знаменатели ПФ разомкнутой и замкнутой систем не содержат свободных множителей р, следовательно, системы обладают нулевым порядком астатизма.
Часть 4
Оцениваем устойчивость замкнутой системы алгебраическим критерием Гурвица. Выделяем характеристический полином замкнутой системы – знаменатель ПФ:
По необходимому условию Гурвица, все коэффициенты характеристического полинома должны быть положительными. Необходимое условие устойчивости выполняется.
По достаточному условию устойчивости, все определители матрицы Гурвица должны быть положительными . Формируем матрицу Гурвица:
Из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы a0sn + a1sn-1 + … + an = 0 составляется таблица, называемая матрицей Гурвица по следующему правилу:
1) по диагонали сверху вниз записываются все коэффициенты, начиная с a1 до an в порядке возрастания индексов;
2) столбцы дополняются вверх коэффициентами с возрастающими индексами, вниз коэффициентами с убывающими индексами;
3) на месте коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляются нули.
Матрица Гурвица:
Рассчитываем определители матрицы Гурвица:
Определители всех 3 порядков матрицы Гурвица положительные, следовательно, замкнутая система устойчива.
Вносить корректировку в коэффициенты для обеспечения устойчивости не нужно.
Часть 5
Критерий Михайлова
По частотному критерию Михайлова, система устойчива, если годограф Михайлова системы начинается на положительной полуоси, и раскручиваясь против часовой стрелки, последовательно проходит n четвертей (n – порядок характеристического полинома системы), не проходя через точку начала координат.
Проведём в характеристическом полиноме замкнутой системы замену р = i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Откладывая по оси абсцисс действительную составляющую, а по оси ординат мнимую составляющую, строим годограф Михайлова:
Годограф Михайлова системы начинается на положительной полуоси, и раскручиваясь против часовой стрелки, последовательно проходит n = 3 четверти, что соответствует поведению годографа устойчивой системы.
Замкнутая система устойчива.
Далее определим критический коэффициент передачи, при котором замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.
Ранее мы определили ПФ разомкнутой системы в каноническом виде и определили текущий коэффициент передачи:
Запишем ПФ разомкнутой системы без учёта текущего коэффициента передачи K = 4:
Характеристический полином замкнутой системы может быть представлен как сумма полиномов числителя и знаменателя разомкнутой системы:
По уже знакомому алгоритму проведём в характеристическом полиноме замкнутой системы замену р = i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота; после чего выделим действительную и мнимую составляющую:
Как было отмечено ранее, система устойчива, если годограф Михайлова системы начинается на положительной полуоси, и раскручиваясь против часовой стрелки, последовательно проходит n четвертей (n – порядок характеристического полинома системы), не проходя через точку начала координат.
Соответственно, система 3 порядка будет находиться на колебательной границе устойчивости, если годограф Михайлова будет проходить из I четверти в IV четверть через точку начала координат.
Т.е., на некоторой частоте будет выполняться условие: U(ω) = 0; V(ω) = 0.
Определим, на каких частотах мнимая составляющая обращается в ноль:
Отрицательные частоты не рассматриваются; частота ω = 0 соответствует началу годографа.
Выбрав единственное положительной значение частоты, подставляем его в уравнение действительной составляющей и определим, при каком k на данной частоте действительная составляющая обратится в ноль:
Критическое значение k: Kкр = 65,558.
Критерий Найквиста
Ранее мы определили ПФ разомкнутой системы:
Знаменатель ПФ разомкнутой системы представлен в виде произведения полиномов первого и второго порядка со всеми положительными коэффициентами; следовательно, разомкнутая система устойчива.
Тогда, по критерию Найквиста, замкнутая система будет устойчива, если годограф АФЧХ (Найквиста) не будет охватывать точку (-1; i0).
Для расчёта АФЧХ перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену оператора Лапласа р→i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Данное выражение КЧХ можно представить в виде: , где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая составляющие КЧХ соответственно