Провести полное исследование и построить график функции y=fx. y=x2lnx

1) Область определения:
Область определения функции будет совпадать с областью определения логарифма:
x∈0;+∞
2) Точки пересечения с осями координат
Точек пересечения с ОY нет, т.к. x=0 не входит в О.О.Ф.
Точек пересечения с ОХ нет: x2lnx≠0.
3) Четность, нечетность.
Т.к. lnx ни четная, ни нечетная, исходная функция также ни четная, ни нечетная.
4) Периодичность
yx+T= x+T2lnx+T≠yx при T≠0
функция не периодична.
5) Точки разрыва
Функция непрерывна в области определения.
6) Вертикальные асимптоты.
x=0.
7) Наклонные асимптоты: y=kx+b
k=limx→∞yxx=limx→∞x2lnxx=limx→∞xlnx=∞.
Наклонных асимптот нет.
8) Экстремумы, интервалы монотонности
Первая производная
y'= x2lnx'=2xlnx+x2∙1x=x2lnx+1
x2lnx+1=0⟹lnx=-12⟹x2=e-12=1e.
Производная равна нулю в точкe x=1/e.
y'
+
–
e-12
0
0y'
+
–
e-12
0
Производная не определена в точке x=0.
0 x>1e⇒y'>0-функция возрастает
x=1e-точка локального минимума y-2=-0,8.
9) Точки перегиба и интервалы выпуклости
Вторая производная:
y''= x2lnx+1'=2lnx+1+x2x=2lnx+3
2lnx+3=0⟹x=e-32
y''
+
–
e-32
0
0y''
+
–
e-32
0
Вторая производная равна нулю в точке: x=e-32 .
x x>e-32⇒y''>0-функция вогнута
Точка перегиба x=e-32