Провести полное исследование функции и построить ее график

Областью определения функции служит вся числовая прямая:
Dy: x∈-∞;∞
Исследуем функцию на четность:
y-x=23∙-x3-3,5∙-x2+3∙-x+1=-23x3-3,5x2-3x+1
y-x≠yx, y-x≠-yx
Функция не является четной, не является нечетной. Это функция общего вида.
Точки пересечения с осями координат:
С осью Oyx=0: y=1
Непрерывность.
Как многочлен функция является непрерывной на всей числовой оси. Вертикальные асимптоты отсутствуют.
Наклонные асимптоты будем искать в виде:
y=kx+b
k=limx→∞yxx=limx→∞23x2-3,5x+3+1x=∞
Наклонные асимптоты отсутствуют.
Исследуем поведение функции на бесконечности:
limx→∞yx=limx→∞23x3-3,5x2+3x+1=∞
limx→-∞yx=limx→-∞23x3-3,5x2+3x+1=-∞
Монотонность и точки экстремума.
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю:
y'=23x3-3,5x2+3x+1'=2x2-7x+3
2x2-7x+3=0
D=49-24=25
x1=7-54=0,5 x2=7+54=3
Разобьем числовую ось на интервалы:
x
-∞;0,5
12
0,5;3
3
(3;∞)
y'
+ 0 - 0 +
y
Возрастает max Убывает
min Возрастает
При переходе через точку x=0,5 первая производная меняет знак с “+” на “-” поэтому в этой точке локальный максимум.
При переходе через точку x=3 первая производная меняет знак с “-” на “+” поэтому в этой точке локальный минимум.
ymax=y0,5=23∙18-72∙14+3∙12+1=112-78+32+1=4124
ymin=y3=23∙27-72∙9+3∙3+1=18-632+9+1=-72
Выпуклость и точки перегиба.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
y''=2x2-7x+3'=4x-7
4x-7=0 x=74
Разобьем числовую ось на интервалы:
x
-∞;74
74
74;∞
y''
- 0 +
y
Выпукла вверх Перегиб Выпукла вниз
yперегиб=y74=23∙34364-72∙4916+3∙74+1=34396-34332+214+1=-4348
Найдем значение функции в дополнительных точках:
x
-1 1 2
y
-376
76
-53
Используя результаты исследования, построим график функции: