Проверка критерия оптимальности.
Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Оптимальный план можно записать так:
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 13/7, x4 = 2/7.
F(X) = 2∙0 + 1∙0 -3∙13/7 + 5∙2/7 = -26/7.
Решение
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4.
x1+2x2+x3 = 5
-2x1+2x2+x4 = 1
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A = 1 2 1 0
-2 2 0 1
Базисные переменные – это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X0 = (0,0,5,1)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B x1 x2 x3 x4
x3 5 1 2 1 0
x4 1 -2 2 0 1
F(X0) 0 3 -2 0 0
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2
. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2и из них выберем наименьшее:
min (5 : 2 , 1 : 2 ) = ½
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B x1 x2 x3 x4 min
x3 5 1 2 1 0 5/2
x4 1 -2 2 0 1 1/2
F(X1) 0 3 -2 0 0
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x2.
Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А∙В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана,
РЭ - разрешающий элемент (2),
А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4
x3 4 3 0 1 -1
x2 1/2 -1 1 0 1/2
F(X1) 1 1 0 0 1
1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
