Проверить что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и решить его

Имеем дифференциальное уравнение вида: Mx;ydx+Nx;ydy=0.
Проверим, является ли уравнение в полных дифференциалах:
∂Mx;y∂y=∂xsiny+2∂y=-xcosysin2y;
∂Nx;y∂x=∂x2+1cosycos2y-1∂x=2xcosycos2y-1=2xcosycos2y-sin2y-1=
=2xcosycos2y-sin2y-1=2xcosy-2sin2y=-xcosysin2y.
∂Mx;y∂y=∂Nx;y∂x, следовательно, существует функция Fx;y,
которая подчиняется уравнению:
∂F∂xdx+∂F∂ydy=0, где:
∂Fx;y∂x=xsiny+2⇒Fx;y=xsiny+2dx=x22siny+2x+φy⇒
Найдем функцию φy:
∂Fx;y∂y=∂x22siny+2x+φy∂y=-x2cosy2sin2y+φ'y=x2+1cosy-2sin2y⇒
-x2cosy2sin2y+φ'y=x2cosy-2sin2y-cosy2sin2y⇒φ'y=-cosy2sin2y.
φ'y=-cosy2sin2y⇒φy=-cosy2sin2ydy=-dsiny2sin2y=12siny.
Тогда решением данного дифференциального уравнения является функция:
Fx;y=x22siny+2x+12siny+C.
Ответ