Проведено бюджетное обследование 27 случайно выбранных домохозяйств

Построим корреляционное поле между накоплениями и доходом.
Рис. Поле корреляции
На основе анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о том, что зависимость накоплений от стоимости имущества описывается линейной регрессионной моделью .
2. Оценим тесноту линейной связи между накоплениями и доходом с надежностью 0,9.
Оценим тесноту линейной связи с помощью коэффициента корреляции. Его можно рассчитать по формуле:
Для расчета заполним таблицу:
i yi xi1 xi1yi
1 23,4 43,9 1927,21 547,56 1027,26
2 15,7 75,9 5760,81 246,49 1191,63
3 22,9 23,3 542,89 524,41 533,57
4 24,5 78,4 6146,56 600,25 1920,8
5 18,1 78,6 6177,96 327,61 1422,66
6 30,9 38,2 1459,24 954,81 1180,38
7 22,1 69,1 4774,81 488,41 1527,11
8 22,1 28,6 817,96 488,41 632,06
9 23 30,5 930,25 529 701,5
10 24 29,2 852,64 576 700,8
11 23,5 66,5 4422,25 552,25 1562,75
12 12,2 79,4 6304,36 148,84 968,68
13 23,2 49,7 2470,09 538,24 1153,04
14 24,9 68,6 4705,96 620,01 1708,14
15 25,3 66,2 4382,44 640,09 1674,86
16 30,6 29,9 894,01 936,36 914,94
17 21,9 81,7 6674,89 479,61 1789,23
18 32,4 51,5 2652,25 1049,76 1668,6
19 20,9 45,7 2088,49 436,81 955,13
20 15,8 48,1 2313,61 249,64 759,98
21 18 40,3 1624,09 324 725,4
22 16,1 49,5 2450,25 259,21 796,95
23 12,8 79,4 6304,36 163,84 1016,32
24 17,3 83 6889 299,29 1435,9
25 14,7 83,2 6922,24 216,09 1223,04
26 20,4 65,8 4329,64 416,16 1342,32
27 24,9 68,6 4705,96 620,01 1708,14
Итого 581,6 1552,8 99524,22 13233,16 32241,19
Тогда:
Проверим значимость коэффициента корреляции с надежностью 0,9. Для этого рассчитаем значения выражения
Находим критическое значение критерия Стьюдента по таблице критических точек:
tкр=t(;n-2)=t(0,1;25)=1,71.
Т.к. условие tф > tкр выполняется, то коэффициент парной корреляции статистически значим, т.е. они существенно отличается от нуля. Таким образом, линейную связь между признаками можно считать установленной.
3. Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости накоплений от дохода.
Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Для этого составляем систему нормальных уравнений и находим ее решение:
Решением этой системы являются числа: b0=28,334, b1=-0,118.
Получили уравнение регрессии: .
4. Проверим статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построим для них доверительные интервалы.
Для проверки значимости заполним расчетную таблицу:
i Xi1 Yi
1 23,4 43,9 23,15 0,25 0,06 185,26
2 15,7 75,9 19,37 -3,67 13,46 338,15
3 22,9 23,3 25,58 -2,68 7,19 1170,40
4 24,5 78,4 19,07 5,43 29,45 436,35
5 18,1 78,6 19,05 -0,95 0,90 444,74
6 30,9 38,2 23,82 7,08 50,10 372,92
7 22,1 69,1 20,17 1,93 3,72 134,30
8 22,1 28,6 24,96 -2,86 8,15 835,85
9 23 30,5 24,73 -1,73 3,00 729,60
10 24 29,2 24,88 -0,88 0,78 801,52
11 23,5 66,5 20,48 3,02 9,13 80,80
12 12,2 79,4 18,96 -6,76 45,63 479,12
13 23,2 49,7 22,46 0,74 0,54 61,01
14 24,9 68,6 20,23 4,67 21,80 122,96
15 25,3 66,2 20,51 4,79 22,90 75,50
16 30,6 29,9 24,80 5,80 33,62 762,37
17 21,9 81,7 18,68 3,22 10,35 585,10
18 32,4 51,5 22,25 10,15 103,01 36,13
19 20,9 45,7 22,94 -2,04 4,14 139,50
20 15,8 48,1 22,65 -6,85 46,95 88,57
21 18 40,3 23,57 -5,57 31,07 296,22
22 16,1 49,5 22,49 -6,39 40,79 64,18
23 12,8 79,4 18,96 -6,16 37,89 479,12
24 17,3 83 18,53 -1,23 1,51 649,68
25 14,7 83,2 18,51 -3,81 14,49 659,92
26 20,4 65,8 20,56 -0,16 0,03 68,71
27 24,9 68,6 20,23 4,67 21,80 122,96
Сумма 581,6 1552,8 581,60 0,00 562,47 10220,97
Рассчитаем стандартную ошибку регрессии s:
Рассчитаем фактические значения t-критерия для каждого коэффициента:
,
,
Критическое значение t-критерия Стьюдента равно t(0,1;25)=1,71.
Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:
H0: =0
H1: 0
Сравнивая расчетное и критическое значения (9,95> 1,71), делаем вывод, что коэффициент статистически значим.
Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:
H0: =0
H1: 0
Сравнивая расчетное и критическое значения (2,52 > 1,71), делаем вывод, что коэффициент статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.
Определим доверительные интервалы для коэффициентов и :
28,3341,712,85.
28,3344,87.
-0,1181,710,047.
-0,1180,080.
5. Рассчитаем коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценим статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,9.
Рассчитаем коэффициент детерминации. В случае парной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции:
=(-0,450)2=0,202.
Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:
.
При уровне значимости =0,1 и количестве степеней свободы k1=1, k2=27-2=25 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,1;1;25)=2,92. Т.к. неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения.
6. Для домохозяйства с доходом 59 ден. ед. дадим точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,9.
Точечный прогноз при =59 д.е.:
=28,334-0,11859=21,36 д.е.
Доверительные интервалы находятся по формуле
, где
yв, yн – верхняя и нижняя граница доверительного интервала
- значение независимой переменной x, для которой определяется доверительный интервал
- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,1 t(0,9;25)=1,71.
Значение sy определяется по формуле:
.
.
yн=21,36-1,710,92=19,80 д.е.
yв=21,36+1,710,92=22,93 д.е.
7. Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии для зависимости накоплений от дохода и стоимости имущества. Поясним экономический смысл его параметров.
Найдем по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов линейной регрессионной модели . Оценки коэффициентов в этом случае можно найти по формуле:
A=(XTX)-1XTY
Для этого выполним следующие расчеты:
1 43,9 45,5
23,4
1 75,9 32
15,7
1 23,3 29,2
22,9
1 78,4 73,5
24,5
1 78,6 45,2
18,1
1 38,2 61,8
30,9
1 69,1 60,1
22,1
1 28,6 30,9
22,1
X= 1 30,5 34,7 Y= 23
1 29,2 36,6
24
1 66,5 45,8
23,5
1 79,4 40,5
12,2
1 49,7 49
23,2
1 68,6 67,4
24,9
1 66,2 60,4
25,3
1 29,9 55
30,6
1 81,7 68,6
21,9
1 51,5 75,6
32,4
1 45,7 40
20,9
1 48,1 27,8
15,8
1 40,3 28,2
18
1 49,5 29,7
16,1
1 79,4 42,3
12,8
1 83 57
17,3
1 83,2 50,2
14,7
1 65,8 53
20,4
1 68,6 67,4
24,9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
XT= 43,9 75,9 23,3 78,4 78,6 38,2 69,1 28,6 30,5 29,2 66,5 79,4 49,7 68,6 66,2 29,9 81,7 51,5 45,7 48,1 40,3 49,5 79,4 83,0 83,2 65,8 68,6
45,5 32,0 29,2 73,5 45,2 61,8 60,1 30,9 34,7 36,6 45,8 40,5 49,0 67,4 60,4 55,0 68,6 75,6 40,0 27,8 28,2 29,7 42,3 57,0 50,2 53,0 67,4
27 1552,8 1307,4
XTX= 1552,8 99524,22 78556,64
1307,4 78556,64 69058,28
0,54784 -0,00354 -0,00635
(XTX)-1= -0,00354 0,000121 -7,1×10-05
-0,00635 -7,1×10-05 0,000215
581,6
XTY= 32241,19
29286,18
18,672
A=(XTX)-1XTY= -0,226
0,328
Таким образом, с ростом дохода на 1 ед