Произведены совместные измерения информационных параметров входной неэлектрической (перемещение, мм) и выходной электрической (период, мкс) величин измерительного преобразователя (датчика перемещения) с целью определения его функции преобразования. Результаты эксперимента представлены ниже. Найти аналитическое выражение функции преобразования и значения входящих в ее состав числовых параметров интерполяционным методом и методом наименьших квадратов, построить графики двух аппроксимирующих функций совместно с экспериментальными точками, оценить точность аппроксимации тем и другим методами.
Результат совместных измерений входного и выходного информационных параметров датчика перемещений:
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Перемещение
(x), мм 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Период
(Tх(э)), мкс 0 0,2 0,4 0,6 1,0 1,4 1,9 2,6 4,3 9,9
Решение
Сначала воспользуемся интерполяционным методом. Расположение экспериментальных точек примем соответствующим следующей зависимости:
Tx=C1+C2x+C3x2.
Составим систему уравнений для нахождения коэффициентов C1, C2 и C3. Для этого возьмем экспериментальные точки 2, 6 и 10:
0,2=C1+C2+C31,4=C1+5C2+25C39,9=C1+9C2+81C3
Вычислим коэффициенты по формулам Крамера:
∆=11115251981=128;
∆1=0,2111,45259,9981=133,2;
∆2=10,2111,42519,981=-136,8;
∆3=110,2151,4199,9=29,2.
C1=∆1∆=133,2128=1,04;
C2=∆2∆=-136,8128=-1,07;
C3=∆3∆=29,2128=0,23.
Тогда функция имеет вид:
Tx=1,04-1,07x+0,23x2.
Результаты аппроксимации вместе с экспериментальными точками изобразим в одной системе координат:
Рассчитаем среднюю по диапазону относительную погрешность аппроксимации:
∆ср=1n*i=1nTxiэ-TxiTxiэ*100%=1,374 %.
Теперь воспользуемся методом наименьших квадратов
. Расположение экспериментальных точек соответствует зависимости:
Tx=C1+C2x+C3x2.
Тогда получаем:
Txi=C1+C2xi+C3xi2,
∆Txi=Txi-C1+C2xi+C3xi2,
∆Txi2=Txi-C1+C2xi+C3xi22.
Тогда получаем систему уравнений:
i=1nTxi-C1+C2xi+C3xi2∂Tx∂C1i=0;i=1nTxi-C1+C2xi+C3xi2∂Tx∂C2i=0;i=1nTxi-C1+C2xi+C3xi2∂Tx∂C3i=0.
Учитывая, что:
∂Tx∂C1i=-1, ∂Tx∂C2i=-xi, ∂Tx∂C3i=-xi2.
Получаем систему:
-i=1nTxi+i=1nC1+i=1nC2xi+i=1nC3xi2=0,-i=1nTxixi+i=1nC1xi+i=1nC2xi2+i=1nC3xi3=0,-i=1nTxixi2+i=1nC1xi2+i=1nC2xi3+i=1nC3xi4=0.
i=1nC1+i=1nC2xi+i=1nC3xi2=i=1nTxi,i=1nC1xi+i=1nC2xi2+i=1nC3xi3=i=1nTxixi,i=1nC1xi2+i=1nC2xi3+i=1nC3xi4=i=1nTxixi2.
C1n+C2i=1nxi+C3i=1nxi2=i=1nTxi,C1i=1nxi+C2i=1nxi2+C3i=1nxi3=i=1nTxixi,C1i=1nxi2+C2i=1nxi3+C3i=1nxi4=i=1nTxixi2.
Для упрощения нахождения коэффициентов составим таблицу:
ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ
xi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
xi2
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 285
xi3
0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 2025
xi4
0 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 15333
Txi
0 0,2 0,4 0,6 1 1,4 1,9 2,6 4,3 9,9 22,3
Txixi
0 0,2 0,8 1,8 4 7 11,4 18,2 34,4 89,1 166,9
Txixi2
0 0,2 1,6 5,4 16 35 68,4 127,4 275,2 801,9 1331,1
Теперь система уравнений принимает вид:
10C1+45C2+285C3=22,3,45C1+285C2+2025C3=166,9,285C1+2025C2+15333C3=1331,1.
Вычислим коэффициенты по формулам Крамера:
∆=1045285452852025285202515333=435600;
∆1=22,345285166,928520251331,1202515333=346500;
∆2=1022,328545166,920252851331,115333=-365871;
∆3=104522,345285166,928520251331,1=79695.
C1=∆1∆=346500435600=0,8;
C2=∆2∆=-365871435600=-0,84;
C3=∆3∆=79695435600=0,183.
Тогда функция имеет вид:
Tx=0,8-0,84x+0,183x2.
Строим теоретическую зависимость вместе с экспериментальными точками в одной системе координат.
Рассчитаем среднюю по диапазону относительную погрешность аппроксимации:
∆ср=1n*i=1nTxiэ-TxiTxiэ*100%=1,724 %.
На основании сравнения средней по диапазону относительной погрешности аппроксимации для метода интерполяции и наименьших квадратов можно сделать вывод, что метод интерполяции дал более точный результат.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
