Проанализировать численные уравнения адвекции для направленной разности и центральной разности

Дифференциальное уравнение адвекции первого порядка имеет вид:
∂C∂t+U∂C∂x=0.
Сформируем задачу Коши, для этого запишем начальные условия, которые определяют начальное состояние системы:
t=t0=0:
Cx,0=C(x)t=0=0
x=x0:
Cx0,t=C(t)x=x0=100 м.
Далее необходимо определить граничные условия, которые определяют значения на границе расчетной схемы. Граничные условия определяем из соотношения:
0=Cxn,t-C(xn-1,t)∆x
Отсюда имеем:
Cxn,t=C(t)x=xn=Cxn-1,t=C(t)x=xn-1 .
Для получения численного решения используем метод конечных разностей. Известно, что метод конечных разностей – сеточный метод, основанный на замене производных разностными отношениями . В данной задаче рассмотрим 2 случая:
Запишем схему для линейного уравнения адвекции с помощью направленной вперед разности по времени (t) и направленной “против потока” разности по координате (x):
Cx,t+Δt-C(x,t)Δt+UCx,t-C(x-Δx,t)Δx=0
Или:
Cx,t+Δt-Сx,t+UΔtCx,t-C(x-Δx,t)Δx=0
Из данного соотношения получим формулу для определения каждого последующего значения сетки:
Cx,t+Δt=-UΔtCx,t-C(x-Δx,t)Δx+Сx,t
Cx,t+Δt=Сx,t1-UΔtΔx+UΔtΔxC(x-Δx,t)
Очевидно, что численное решение должно сходиться к точному. Устойчивость конечно-разностной схемы может обеспечить сходимость решения. Численная схема будет устойчивой, если малая погрешность, внесенная на любом уровне по времени, не будет накапливаться