Привести к каноническому виду уравнение

Коэффициенты при вторых производных в уравнении равны
a=1+x22; b=0; c=1.
Вычислим дискриминант D=b2-ac=-1+x22<0
Следовательно, уравнение эллиптического типа во всей плоскости Oxy.
Составим характеристическое уравнение
1+x22(dy)2+(dx)2=0
dx21+x22-i2(dy)2=0
dx1+x2+idydx1+x2-idy=0
dx1+x2+idy=0
dx1+x2+idy=c1
arctg x+iy=c1
dx1+x2-idy=0
dx1+x2-idy=c2
arctg x-iy=c1
Первые интегралы этих уравнений комплексно сопряженные . Возьмем в качестве новых переменных (ξ,η), соответственно, действительную и мнимую части этого выражения. Сделаем замену ux,y=vξ,η, где
ξ=arctg xη=y
ξx=11+x2, ξy=0, ηx=0, ηy=1
Найдем вид уравнения в новых переменных (ξ,η), для этого вычислим частные производные функции u
ux=vξ⋅ξx+vη⋅ηx=11+x2vξ
uy=vξ⋅ξy+vη⋅ηy=vη
uxx=∂∂xux=∂∂x11+x2vξ=11+x2⋅11+x2vξξ-2x1+x22vξ=
=11+x22vξξ-2x1+x22vξ;
uyy=∂∂yuy=∂∂yvη=vηη;
Подставляем найденные частные производные в исходное уравнение
1+x2211+x22vξξ-2x1+x22vξ+vηη+2x1+x211+x2vξ=0
Приводим подобные слагаемые, получим
vξξ+vηη=0
Ответ: Уравнение эллиптического типа; канонический вид vξξ+vηη=0, замена: ξ=arctg x, η=y.