Приближаемая функция f(x) задана на отрезке [a b]

Найдем многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции fx=x.
1) m=2. В наших обозначениях φ1=1, φ2=x. Коэффициенты нормальной системы уравнений
a11=12dx=x12=1
a12=a21=12xdx=x2212=1,5
a22=12x2dx=x3312=2,3333
b1=12xdx=2x3/2312=1,219
b2=12xxdx=2x5/2512=1,863
c1+1.5c2=1,2191.5c1+2.3333c2=1,863
откуда:
c1=0,598
c2=0,414
Многочлен наилучшего приближения:
P2*x=0,598+0,414x
2) m=3
φ1=1, φ2=x, φ3=x2 Коэффициенты нормальной системы уравнений
a11=12dx=x12=1
a12=a21=12xdx=x2212=1,5
a13=a31=a22=12x2dx=x3312=2,3333
a23=a32=12x3dx=x4412=3,75
a33=12x4dx=x5512=6,2
b1=12xdx=2x3/2312=1,219
b2=12xxdx=2x5/2512=1,863
b3=12x2xdx=2x7/2712=2,947
c1+1,5c2+2,3333c3=1,2191,5c1+2,3333c2+3,75c3=1,8632,3333c1+3,75c2+6,2c3=2,947
откуда
c1=0,235
c2=0,916
c3=-0,167
P3*x=0,235+0,916x-0,167x2
Вычислим квадрат расстояния от приближаемой функции fx=x до многочлена наилучшего приближения:
ρ22=12(x-0,598-0,414x)2dx=0,00003
ρ32=12(x-0,235-0,916x+0,167x2)2dx=0,00005
Определим величину относительного уменьшения ошибки аппроксимации δ=ρ3ρ2=0,000050,00003=1,6667