При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений Qi; i [1...24].
Определить результат измерения.
Исходные данные
i
1 2 3 4 5 6 7 8
Qi 482 485 486 486 483 483 483 483
i
9 10 11 12 13 14 15 16
Qi 481 480 492 486 481 482 481 480
i
17 18 19 20 21 22 23 24
Qi 483 485 485 484 485 484 492 484
Доверительная вероятность Р = 0,95
Ответ
Q = 483,3 ± 0,9 (Р = 0,95, n = 22).
Решение
Порядок расчета
Определим среднее значение результата Q и среднее квадратическое отклонения результата измерения SQ
Найдем среднее арифметическое значение измеряемой величины по формуле:
Q= 1n i=1nQi,
где n – число измерений в ряде (объем выборки).
Q= 124 · (482 +485 +486 +486 +483 +483 +483 +483 +481 +480 +492 +486 +481 +482 +481 +480 +483 +485+ 485 +484 +485 +484 +492 +484) =
= 1161624 = 484
Среднее квадратичное отклонение:
SQ = i=1n( Qi- Q)2n-1
SQ = (482-484)2 +(485 -484)2 + (486 -484)2 + … (484 -484)2 24 - 1
SQ = 21623 = 3,1
Обнаружим и исключим ошибки. Для этого необходимо:
– вычислить наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение
ν = maxQ11- QSQ = 492-4843,1 = 2,581
Доверительная вероятность Р = 0,95 и q = 1 – Р = 1 – 0,95 = 0,05, найдем соответствующее теоретическое (табличное) значение νq = 2,701.
Сравним ν с νq
. Так как ν > νq, то данный результат измерения Q12 является ошибочным, он должен быть отброшен. Также мы исключаем результат Q23 = 492.
После этого необходимо повторить предыдущие вычисления до тех пор, пока не будет выполняться условие ν < νq.
Так как n = 22, то Q= 483,27; SQ = 2,047
ν = maxQ3- QSQ = 486-483,27 2,047 = 1,334
Теоретическое (табличное) значение νq = 2,664 при n = 22. Условие
ν < νq выполняется. Получили 22 измерения.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерения используем два критерия. Если хотя бы один из критериев не выполняется, то гипотезу о нормальности распределения отвергают.
Применим критерий 1:
d = 34,5422 ∙ 76,3638 = 0,8427
При доверительной вероятностью P1 (рекомендуется принять P1 = 0,98) и для уровня значимости q1 = 1 – Р1 = 1 – 0,98 = 0,02 по соответствующим таблицам определим квантили распределения d1-0,5ql = , и d0,5q1;
d1-0,5q = d0,99 = 0,7040;
d0,5q = d0,01 = 0,8961.
Сравним d с d1-0,5ql и d0,5q1.
Так как d1-0,5q1 < d < d0,5q1, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.
Применим критерий 2:
При доверительной вероятностью Р2 (рекомендуется принять Р2 = 0,98) и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 = 1 – 0,98 = 0,02 с учетом n = 22 определим по соответствующим таблицам значения m и Р*;
m = 2;
P* = 0, 97.
Для вероятности Р* из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) определим значение t и рассчитаем
Е = t ∙ SQ.
t = 2,17;
E = 2,17 ∙ 2,047 = 4,44.
Так как не более m = 2 разностей | i - | превосходит Е, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, закон можно признать нормальным с вероятностью Р0 (Р1 + Р2 – 1).
Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется как:
; S = 2,04722 = 0,44
Определить доверительный интервал.
Если закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р определяется из распределения Стьюдента
Е = t S,
где t выбирается из соответствующих таблиц
(при этом m = n – 1= 22 – 1 = 21, а = Р= 0,95).
Е = 2,074 · 0,44 = 0,9
Результат измерения равен:
Q = Q ± E; Q = 483,3 ± 0,9
Ответ: Q = 483,3 ± 0,9 (Р = 0,95, n = 22).
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
