Преобразовать исходную структурную схему

Дискретная передаточная функция разомкнутой импульсной системы
Преобразуем исходную структурную схему к общему виду:
Рис. 1.1. Типовая структурная схема
Где выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы:
Wнp=W1p+W2pW3p=71+0.1p1+0.3p+102p=
=71+0.1p+101+0.3p1+0.3p2p=7.4p+34p(0.3p+1).
Найдем передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:
Передаточная функция звена формирователя:
Wфp=1
Передаточная функция приведенной непрерывной части:
Wпнp=Wфp∙Wнp=1∙7.4p+34p0.3p+1=3.337.4p+34pp+3.33
Необходимо разложить выражение в скобках на простейшие дрови, для этого представим выражение в виде:
7.4p+34pp+3.33=Ap+Bp+3.33
Приведем правую часть выражения к общему знаменателю:
Ap+Bp+3.33=Ap+3.33+Bppp+3.33
Видим, что знаменатели равны, поэтому числители также должны быть равны, то есть:
7.4p+34=Ap+3.33+Bp
Раскроем скобки:
7.4p+34=Ap+3.33A+Bp
Тогда имеем:
A+B=7.43.33A=34
Решим систему:
A=10.21,
B=-2.81
В итоге передаточная функция приведенной непрерывной части:
Wпнp=3.3310.21p-2.81p+3.33
Тогда:
wпнt=L-1Wпнp=3.33L-110.21p-2.81p+3.33=
=33.99*10t-9.36e-3.33t
Получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:
Wp*p=m=0∞33,99*10mTu-m=0∞9,36e-3,33mTu=
=33,99e-Tup1-e-Tup-9,36e-Tu(p+3,33)1-e-Tupe-3,33Tu=0.2467e2Tup-0.2355eTupe2Tup-1.967eTup+0.967
Годографы импульсной разомкнутой системы
Построим АФХ (годограф) разомкнутой импульсной САУ. Для этого запишем выражение для комплексного коэффициента усиления:
Wp*jω=0.2467e2Tujω-0.2355eTujωe2Tujω-1.967eTujω+0.967
Используя формулу Эйлера ejωt=cosωt+jsinωtполучим:
Wp*jω=0.2467cos2ωTu+jsin2ωTu-0.2355cosωTu+jsinωTucos2ωTu+jsin2ωTu-1.967cosωTu+jsinωTu+0.967
Выделим в выражении действительную (Re) и мнимую (Im) части, для чего необходимо преобразовать знаменатель выражения ; умножить числитель и знаменатель на комплексно–сопряженное знаменателю число; и снова осуществить преобразование .
Значения и , полученные для разных , сведены в таблицу 1, а АФХ рассматриваемой импульсной САУ изображена на Рис.2.
Построение годографа по годографу производится согласно выражению:
В приближении: , где .
Таблица 1.
50 100 200 450 600 900 1200 1500 1800
Точный метод
-2.632 -2.61 -2.52 -2.14 -1.86 -1.35 -0.96 -0.68 -0.49
-194.31 -96.94 -48.06 -20.55 -14.96 -9.42 -6.75 -5.23 -4.25
Приближённый метод
-2.793 -2.77 -2.68 -2.29 -2.01 -1.48 -1.09 -0.81 -0.61
-194.65 -97.13 -48.14 -20.56 -14.97 -9.42 -6.75 -5.22 -4.25
Построим с помощью MathCad:
Рис . 2. Годограф импульсной (2 метода) системы
Как видно из рис. 2 в годографы практически совпали.
Оценка устойчивости замкнутой импульсной САУ и нахождение предельного коэффициента усиления:
По критерию Найквиста;
Рассмотрим годограф импульсной системы в окрестности точки (-1,j0):
Рис. 3. Годограф импульсной системы
Так как АФХ не охватывает точку с координатами (-1,j0), то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии является устойчивой.
По критерию Гурвица;
Запишем передаточную функцию дискретной САУ в разомкнутой состоянии через Z–преобразование:
Wp*z=0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.967
Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование:
Wз*z=Wp*z1+Wp*z=0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.9671+0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.967=
=0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.967+0.2467z2-0.2355z=0.2467z2-0.2355z1.247z2-2.203z+0.967
Характеристическое уравнение:
Az=1.247z2-2.203z+0.967
Введем подстановку