Преобразовать исходную структурную схему (рис. 1б) к типовому виду (Рис. 7); определить непрерывную передаточную функцию приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы Wпн(p) ;
2. По Wпн(p) найти дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы Wp*( p) ;
3. Построить годограф разомкнутой импульсной САУ:a) По выражению Wр*( jω) ;
b) По выражению годографа Wпн( jω ). Период работы импульсного элемента Т=0,01с
4. Оценить устойчивость замкнутой импульсной САУ и найти предельный коэффициент усиления:
a) По критерию Найквиста;
b) По критерию Гурвица;
c) По корням характеристического уравнения.
5. Построить переходной процесс для замкнутой импульсной САУ (относительно выходного сигнала Xp(t).
6. Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ (относительно сигнала y(t).
7. Провести сравнение расчетных результатов с данными, полученными моделированием в Matlab (Simulink).
Исходные данные
Таблица 0.1. Исходные данные
Рис. 0.1. Структурная схема импульсной САУ
Рис. 0.2. Схема замещения импульсного элемента
Решение
Дискретная передаточная функция разомкнутой импульсной системы
Преобразуем исходную структурную схему к общему виду:
Рис. 1.1. Типовая структурная схема
Где выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы:
Wнp=W1p+W2pW3p=71+0.1p1+0.3p+102p=
=71+0.1p+101+0.3p1+0.3p2p=7.4p+34p(0.3p+1).
Найдем передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:
Передаточная функция звена формирователя:
Wфp=1
Передаточная функция приведенной непрерывной части:
Wпнp=Wфp∙Wнp=1∙7.4p+34p0.3p+1=3.337.4p+34pp+3.33
Необходимо разложить выражение в скобках на простейшие дрови, для этого представим выражение в виде:
7.4p+34pp+3.33=Ap+Bp+3.33
Приведем правую часть выражения к общему знаменателю:
Ap+Bp+3.33=Ap+3.33+Bppp+3.33
Видим, что знаменатели равны, поэтому числители также должны быть равны, то есть:
7.4p+34=Ap+3.33+Bp
Раскроем скобки:
7.4p+34=Ap+3.33A+Bp
Тогда имеем:
A+B=7.43.33A=34
Решим систему:
A=10.21,
B=-2.81
В итоге передаточная функция приведенной непрерывной части:
Wпнp=3.3310.21p-2.81p+3.33
Тогда:
wпнt=L-1Wпнp=3.33L-110.21p-2.81p+3.33=
=33.99*10t-9.36e-3.33t
Получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:
Wp*p=m=0∞33,99*10mTu-m=0∞9,36e-3,33mTu=
=33,99e-Tup1-e-Tup-9,36e-Tu(p+3,33)1-e-Tupe-3,33Tu=0.2467e2Tup-0.2355eTupe2Tup-1.967eTup+0.967
Годографы импульсной разомкнутой системы
Построим АФХ (годограф) разомкнутой импульсной САУ. Для этого запишем выражение для комплексного коэффициента усиления:
Wp*jω=0.2467e2Tujω-0.2355eTujωe2Tujω-1.967eTujω+0.967
Используя формулу Эйлера ejωt=cosωt+jsinωtполучим:
Wp*jω=0.2467cos2ωTu+jsin2ωTu-0.2355cosωTu+jsinωTucos2ωTu+jsin2ωTu-1.967cosωTu+jsinωTu+0.967
Выделим в выражении действительную (Re) и мнимую (Im) части, для чего необходимо преобразовать знаменатель выражения ; умножить числитель и знаменатель на комплексно–сопряженное знаменателю число; и снова осуществить преобразование .
Значения и , полученные для разных , сведены в таблицу 1, а АФХ рассматриваемой импульсной САУ изображена на Рис.2.
Построение годографа по годографу производится согласно выражению:
В приближении: , где .
Таблица 1.
50 100 200 450 600 900 1200 1500 1800
Точный метод
-2.632 -2.61 -2.52 -2.14 -1.86 -1.35 -0.96 -0.68 -0.49
-194.31 -96.94 -48.06 -20.55 -14.96 -9.42 -6.75 -5.23 -4.25
Приближённый метод
-2.793 -2.77 -2.68 -2.29 -2.01 -1.48 -1.09 -0.81 -0.61
-194.65 -97.13 -48.14 -20.56 -14.97 -9.42 -6.75 -5.22 -4.25
Построим с помощью MathCad:
Рис
. 2. Годограф импульсной (2 метода) системы
Как видно из рис. 2 в годографы практически совпали.
Оценка устойчивости замкнутой импульсной САУ и нахождение предельного коэффициента усиления:
По критерию Найквиста;
Рассмотрим годограф импульсной системы в окрестности точки (-1,j0):
Рис. 3. Годограф импульсной системы
Так как АФХ не охватывает точку с координатами (-1,j0), то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии является устойчивой.
По критерию Гурвица;
Запишем передаточную функцию дискретной САУ в разомкнутой состоянии через Z–преобразование:
Wp*z=0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.967
Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование:
Wз*z=Wp*z1+Wp*z=0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.9671+0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.967=
=0.2467z2-0.2355zz2-1.967z+0.967+0.2467z2-0.2355z=0.2467z2-0.2355z1.247z2-2.203z+0.967
Характеристическое уравнение:
Az=1.247z2-2.203z+0.967
Введем подстановку
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
