Потребительские расходы на душу населения тыс

Построим линейную функцию вида:
y=a∙x+b
Параметры модели определим с помощью метода наименьших квадратов:
a∙xi2+b∙xi=xiyia∙xi+b∙n=yi
Вспомогательные расчеты проведем в таблице (табл. 2).
Таблица 2
Расчеты для линейной функции
№ пп
𝑥 𝑦 x2
𝑥𝑦
1 524 408 274576 213792
2 371 249 137641 92379
3 453 253 205209 114609
4 1006 580 1012036 583480
5 997 651 994009 649047
6 217 139 47089 30163
7 486 322 236196 156492
8 1989 899 3956121 1788111
9 595 330 354025 196350
10 1550 446 2402500 691300
11 937 642 877969 601554
12 761 542 579121 412462
13 767 504 588289 386568
14 1720 861 2958400 1480920
15 1735 707 3010225 1226645
16 1052 557 1106704 585964
Сумма 15160 8090 18740110 9209836
По данным таблицы 2 получаем:
18740110a+15160b=920983615160a+16b=8090
Решая систему, получаем уравнение регрессии:
y=0,353∙x+171,2
Найдем показатели:
коэффициент (индекс) корреляции:
rxy=xy-x∙ysx∙sy,
где sx, sy – средние квадратические отклонения:
sx=1n-1∙Dx, sy=1n-1∙Dy
Dx=x2-x2, Dy=y2-y2
ошибка аппроксимации:
A=1n∙i=1nyi-yiyi∙100%
коэффициент детерминации:
R2=rxy2
коэффициент эластичности:
Э=y'∙xy
Вспомогательные расчеты проведем в таблице (табл. 3).
Таблица 3
Вспомогательные расчеты
№ пп
𝑥 𝑦 x2
y2
𝑥𝑦 yi
A
1 524 408 274576 166464 213792 356,1 0,1456
2 371 249 137641 62001 92379 302,1 0,1759
3 453 253 205209 64009 114609 331,1 0,2358
4 1006 580 1012036 336400 583480 526,3 0,1021
5 997 651 994009 423801 649047 523,1 0,2445
6 217 139 47089 19321 30163 247,8 0,4390
7 486 322 236196 103684 156492 342,7 0,0605
8 1989 899 3956121 808201 1788111 873,2 0,0295
9 595 330 354025 108900 196350 381,2 0,1343
10 1550 446 2402500 198916 691300 718,3 0,3791
11 937 642 877969 412164 601554 501,9 0,2791
12 761 542 579121 293764 412462 439,8 0,2324
13 767 504 588289 254016 386568 441,9 0,1405
14 1720 861 2958400 741321 1480920 778,3 0,1063
15 1735 707 3010225 499849 1226645 783,6 0,0977
16 1052 557 1106704 310249 585964 542,5 0,0267
Сумма 15160 8090 18740110 4803060 9209836 8090,0 2,8291
Среднее 947,5 505,625 1171257 300191,3 575614,75 505,6 0,1768
По данным таблицы 3 получаем:
дисперсии:
Dx=1171257-947,52=273500,6
Dy=300191,1-505,6252=44534,61
средние квадратические отклонения:
sx=1615∙273500,6≈540,124, sy=1615∙44534,61≈217,953
коэффициент (индекс) корреляции:
rxy=575614,75-947,5∙505,625540,124∙217,953≈0,8200
коэффициент детерминации:
R2=0,82002≈0,6724
ошибка аппроксимации:
A=0,1768∙100%=17,68%
коэффициент эластичности:
Э=0,353∙x+171,2'∙947,5505,625=0,353∙947,5505,625≈0,6614
Таким образом, согласно полученному уравнению рост (сокращение) денежных доходов на душу населения на 1 тыс. руб. приводит к росту (сокращению) потребительских расходов на душу населения на 0,353 тыс. руб., при этом рост эластичности показывает, что рост денежных доходов на душу населения на 1% приводит к росту потребительских расходов на душу населения на 0,66%.
Коэффициент корреляции показывает, что между факторами существует сильная линейная связь, т.к. значение коэффициента попадает в интервал от 0,7 до 0,9, при этом полученное линейное уравнение регрессии на 67,24% объясняет изменение потребительских расходов на душу населения, а отклонения прогнозируемых значений от фактический в среднем составляет 17,68%. Так как средняя ошибка аппроксимации превышает 15%, то можно говорить о достаточно большом разбросе данных.
Построим степенную функцию вида:
y=b∙xa
Линеаризуем данную модель, логарифмируя обе части уравнения:
lny=lnb+a∙lnx
Коэффициент детерминации нелинейной модели определяется по формуле:
R2=1-yi-yi2yi-y2
Обозначим Y=lny, X=lnx и проведем расчеты для линейной модели (табл. 4).
Таблица 4
№ пп
X
Y
X2
XY
y
y-y2
y-y2
A
1 6,261 6,011 39,206 37,639 331,3 5884,477 9530,64 0,1880
2 5,916 5,517 35,001 32,642 256,0 48,31367 65856,39 0,0279
3 6,116 5,533 37,404 33,842 297,1 1948,197 63819,39 0,1745
4 6,914 6,363 47,800 43,992 539,4 1652,407 5531,64 0,0701
5 6,905 6,479 47,676 44,732 535,7 13284,73 21133,89 0,1770
6 5,380 4,934 28,943 26,547 171,4 1052,504 134413,89 0,2334
7 6,186 5,775 38,269 35,723 313,2 78,00327 33718,14 0,0274
8 7,595 6,801 57,690 51,658 897,6 2,000392 154743,89 0,0016
9 6,389 5,799 40,814 37,048 364,3 1175,606 30844,14 0,1039
10 7,346 6,100 53,964 44,813 745,0 89394,06 3555,14 0,6704
11 6,843 6,465 46,822 44,235 511,5 17040,35 18598,14 0,2033
12 6,635 6,295 44,018 41,767 437,8 10853,04 1323,14 0,1922
13 6,642 6,223 44,123 41,333 440,4 4045,105 2,64 0,1262
14 7,450 6,758 55,504 50,348 805,2 3109,974 126291,39 0,0648
15 7,459 6,561 55,633 48,937 810,5 10706,95 40551,89 0,1464
16 6,958 6,323 48,420 43,995 557,7 0,453941 2639,39 0,0012
Сумма 106,995 97,937 721,287 659,253 8014,0 160276,2 712553,75 2,4083
По данным таблицы 4 получаем:
721,287a+106,995b=659,253106,995a+16b=97,937
Решая систему, получаем уравнение регрессии:
Y=0,7472∙X+1,1243
Потенцируя, получаем b=explnb=exp1,1242=3,078 . Получаем уравнение:
y=3,078∙x0,7472
Также на основании таблицы получаем:
коэффициент детерминации:
R2=1-160276,2712553,75≈0,7751
коэффициент (индекс) корреляции:
rxy=0,7751≈0,8804
ошибка аппроксимации:
A=2,408316∙100%=15,05%
коэффициент эластичности:
Э=a≈0,7472
Таким образом, согласно полученному уравнению рост (сокращение) денежных доходов на душу населения на 1% приводит к росту (сокращению) потребительских расходов на душу населения на 0,7472%.
Коэффициент корреляции показывает, что между факторами существует очень сильная связь, т.к. значение коэффициента попадает в интервал от 0,7 до 0,9, при этом полученное степенное уравнение регрессии на 77,51% объясняет изменение потребительских расходов на душу населения, а отклонения прогнозируемых значений от фактический в среднем составляет 15,05%. Так как средняя ошибка аппроксимации в допустимых пределах, то можно говорить о среднем разбросе данных.
Построим показательную функцию вида:
y=b∙ax
Линеаризуем данную модель, логарифмируя обе части уравнения:
lny=lnb+x∙lna
Обозначим Y=lny и проведем расчеты для линейной модели (табл. 5).
Таблица 5
№ пп
x
Y
x2
xY
y
y-y2
y-y2
A
1 524 6,011 274576 3149,904 329,0 6239,68 9530,64 0,1936
2 371 5,517 137641 2046,975 292,6 1897,35 65856,39 0,1749
3 453 5,533 205209 2506,625 311,6 3429,38 63819,39 0,2315
4 1006 6,363 1012036 6401,206 476,3 10759,59 5531,64 0,1788
5 997 6,479 994009 6459,074 473,0 31686,39 21133,89 0,2734
6 217 4,934 47089 1070,781 259,9 14628,29 134413,89 0,8701
7 486 5,775 236196 2806,432 319,6 5,99 33718,14 0,0076
8 1989 6,801 3956121 13527,752 1012,7 12928,68 154743,89 0,1265
9 595 5,799 354025 3450,460 347,4 303,90 30844,14 0,0528
10 1550 6,100 2402500 9455,494 723,0 76755,10 3555,14 0,6212
11 937 6,465 877969 6057,319 451,7 36211,22 18598,14 0,2964
12 761 6,295 579121 4790,697 394,6 21715,91 1323,14 0,2719
13 767 6,223 588289 4772,716 396,5 11565,25 2,64 0,2134
14 1720 6,758 2958400 11623,923 823,8 1383,16 126291,39 0,0432
15 1735 6,561 3010225 11383,388 833,3 15963,62 40551,89 0,1787
16 1052 6,323 1106704 6651,339 493,4 4046,84 2639,39 0,1142
Сумма 15160 97,937 18740110 96154,086 7938,4 249520,38 712553,75 3,8483
По данным таблицы 5 получаем:
18740110a+15160b=96154,08615160a+16b=97,937
Решая систему, получаем уравнение регрессии:
Y=0,00076∙x+5,3939
Потенцируя, получаем a=explna=exp0,00076=1,0008, b=explnb=exp5,3939=220,07. Получаем уравнение:
y=220,07∙1,0008x
Также на основании таблицы получаем:
коэффициент детерминации:
R2=1-249520,38712553,75≈0,6498
коэффициент (индекс) корреляции:
rxy=0,6498≈0,8061
ошибка аппроксимации:
A=3,848316∙100%=24,05%
коэффициент эластичности:
Э=x∙lna=947,5∙0,00076≈0,7271
Таким образом, рост (сокращение) денежных доходов на душу населения на 1% приводит к росту (сокращению) потребительских расходов на душу населения на 0,7271%.
Коэффициент корреляции показывает, что между факторами существует очень сильная связь, т.к. значение коэффициента попадает в интервал от 0,7 до 0,9, при этом полученное степенное уравнение регрессии на 64,98% объясняет изменение потребительских расходов на душу населения, а отклонения прогнозируемых значений от фактический в среднем составляет 24,05%. Так как средняя ошибка аппроксимации превышает 15%, то можно говорить о достаточно большом разбросе данных.
Построим обратную функцию вида:
y=a∙1x+b
Обозначим X=1x и проведем расчеты для линейной модели (табл. 6).
Таблица 6
№ пп
𝑋 𝑦 X2
y2
𝑋𝑦 yi
A
1 0,002 408 3,64E-06 166464 0,779 171,2 1,3832
2 0,003 249 7,27E-06 62001 0,671 171,2 0,4545
3 0,002 253 4,87E-06 64009 0,558 171,2 0,4778
4 0,001 580 9,88E-07 336400 0,577 171,2 2,3880
5 0,001 651 1,01E-06 423801 0,653 171,2 2,8027
6 0,005 139 2,12E-05 19321 0,641 171,2 0,1881
7 0,002 322 4,23E-06 103684 0,663 171,2 0,8809
8 0,001 899 2,53E-07 808201 0,452 171,2 4,2513
9 0,002 330 2,82E-06 108900 0,555 171,2 0,9276
10 0,001 446 4,16E-07 198916 0,288 171,2 1,6052
11 0,001 642 1,14E-06 412164 0,685 171,2 2,7501
12 0,001 542 1,73E-06 293764 0,712 171,2 2,1660
13 0,001 504 1,7E-06 254016 0,657 171,2 1,9440
14 0,001 861 3,38E-07 741321 0,501 171,2 4,0294
15 0,001 707 3,32E-07 499849 0,407 171,2 3,1298
16 0,001 557 9,04E-07 310249 0,529 171,2 2,2536
Сумма 0,024 8090 5,29E-05 4803060 9,327 2739,1 31,6322
Среднее 0,002 505,625 3,3E-06 300191,3 0,583 171,2 1,9770
По данным таблицы 6 получаем:
5,29∙10-5a+0,024b=0,5830,024a+16b=8090
Решая систему, получаем уравнение регрессии:
y=-172195∙X+764,95
или
y=-172195x+764,95
Найдем показатели:
дисперсии:
Dx=3,3∙10-6-0,0022=1,04∙10-6
Dy=300191,1-505,6252=44534,61
средние квадратические отклонения:
sx=1615∙1,04∙10-6≈0,0011, sy=1615∙44534,61≈217,953
коэффициент (индекс) корреляции:
rxy=0,583-0,002∙505,6250,0011∙217,953≈-0,7789
коэффициент детерминации:
R2=(-0,7789)2≈0,6067
ошибка аппроксимации:
A=1,9770∙100%=197,70%
коэффициент эластичности:
Э=-172195∙X+764,95'∙0,002505,625=-172195∙0,002505,625≈-0,5129
Таким образом, согласно полученному уравнению рост (сокращение) денежных доходов на душу населения на 1 тыс