1,2) Построим интервалы группирования для каждой из выборок. Объемы выборок одинаковые и равны n=30
Число значений вариант, принимаемых каждой из выборок, ограничено и равно соответственно n1=6; n2=5
Составим дискретный вариационный ряд для каждой выборки:
xi*
127 128 129 130 131 132
ni
5 6 9 6 3 1
pi
0,17 0,2 0,3 0,2 0,1 0,03
yi*
26 27 28 29 30
ni
8 7 11 2 2
pi
0,26 0,23 0,37 0,07 0,07
Построим для дискретных распределений выборки полигоны частот:
3) Построим корреляционную таблицу. Подсчитаем количество каждой из пар xi*,yj*
X/Y
26 27 28 29 30
127 4 1
128 2 3 1
129 2 3 4
130
5 1
131
1 1 1
132
1
4) Найдем выборочные числовые характеристики для X и Y
xВ=1n∙i=16xi∙ni=127∙5+128∙6+129∙9+130∙6+131∙3+132∙130=386930=
=128,967
Dвx=1n∙i=16xi2∙ni-xВ2=
=1272∙5+1282∙6+1292∙9+1302∙6+1312∙3+1322∙130-128,9672=
=49902530-16632,4=16634,17-16632,4=1,77 σx=Dвx≈1,33
Sx2=nn-1∙Dвx=3029∙1,77≈1,83 Sx=Sx2≈1,35
Аналогично произведем вычисления для Y:
yВ=1n∙i=16yi∙ni=26∙8+27∙7+28∙11+29∙2+30∙230=82330≈27,433
Dвy=1n∙i=16yi2∙ni-yВ2=262∙8+272∙7+282∙11+292∙2+302∙230-27,4332≈
≈2261730-752,57=753,9-752,57=1,33 σy=Dвy≈1,15
Sy2=nn-1∙Dвy=3029∙1,33≈1,376 S=Sy2≈1,17
1n∙i,j xi∙yj∙nij=127∙26∙4+127∙27∙1+128∙26∙2+128∙27∙3+128∙28∙130+
+129∙26∙2+129∙27∙3+129∙28∙4+130∙28∙5+130∙29∙1+131∙28∙130+
+131∙29∙1+131∙30∙1+132∙30∙130=10617730≈3539,23
rВ=i,j xi∙yj∙nij-n∙xВ∙yВn∙Sx∙Sy=106177-30∙128,967∙27,43330∙1,35∙1,17≈0,811
5) Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии X
а) Математическое ожидание при неизвестной дисперсии, считая, что X распределена нормально:
xВ-tn.γ∙Sn<a<xВ+tn.γ∙Sn
tn.γ найдем по таблице распределения Стьюдента:
t30;0,9=1,31 t30;0,95=1,7
γ=0,9
128,967-1,31∙1,3530<a<128,967+1,31∙1,3530 (128,644;129,29)
γ=0,95
128,967-1,7∙1,3530<a<128,967+1,7∙1,3530 (128,548;129,386)
б) Математическое ожидание при известной дисперсии, считая, что X распределена нормально:
xВ-zγ∙σn<a<xВ-zγ∙σn
zγ найдем, исходя из того, что:
2Фzγ=γ
γ=0,9 => Фzγ=γ2=0,45 => zγ=1,65
γ=0,95 => Фzγ=γ2=0,475 => zγ=1,96
γ=0,9
128,967-1,65∙1,3330<a<128,967+1,65∙1,3330 (128,566;129,408)
γ=0,95
128,967-1,96∙1,3330<a<128,967+1,96∙1,3330 (128,491;129,443)
в) Для дисперсии, считая, что X распределена нормально:
n-1∙S2χ12<σ<n-1∙S2χ22
χ12=χ2α2;n-1; χ22=χ21-α2;n-1
γ=0,9 α=0,1
χ22=χ20,05;29=18,5 χ12=χ20,95;29=43,8
29∙1,8343,8<σ<29∙1,8318,5 (1,21;2,87)
γ=0,95 α=0,05
χ22=χ20,025;29=16,8 χ12=χ20,975;29=47
29∙1,8347<σ<29∙1,8316,8 (1,13;3,16)
6) Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии Y
а) Математическое ожидание при неизвестной дисперсии, считая, что Y распределена нормально:
yВ-tn.γ∙Sn<a<yВ+tn.γ∙Sn
tn.γ найдем по таблице распределения Стьюдента:
t30;0,9=1,31 t30;0,95=1,7
γ=0,9
27,433-1,31∙1,1730<a<27,433+1,31∙1,1730 (27,153;27,713)
γ=0,95
27,433-1,7∙1,1730<a<27,433+1,7∙1,1730 (27,07;27,796)
б) Математическое ожидание при известной дисперсии, считая, что X распределена нормально:
xВ-zγ∙σn<a<xВ-zγ∙σn
zγ найдем, исходя из того, что:
2Фzγ=γ
γ=0,9 => Фzγ=γ2=0,45 => zγ=1,65
γ=0,95 => Фzγ=γ2=0,475 => zγ=1,96
γ=0,9
27,433-1,65∙1,1530<a<27,433+1,65∙1,1530 (27,087;27,779)
γ=0,95
27,433-1,96∙1,1530<a<27,433+1,96∙1,1530 (27,021;27,845)
в) Для дисперсии, считая, что X распределена нормально:
n-1∙S2χ12<σ<n-1∙S2χ22
χ12=χ2α2;n-1; χ22=χ21-α2;n-1
γ=0,9 α=0,1
χ22=χ20,05;29=18,5 χ12=χ20,95;29=43,8
29∙1,37643,8<σ<29∙1,37618,5 (0,911;2,157)
γ=0,95 α=0,05
χ22=χ20,025;29=16,8 χ12=χ20,975;29=47
29∙1,37647<σ<29∙1,37616,8 (0,849;2,375)
7) Выдвинем гипотезу о нормальном распределении случайной величины X с параметрами:
a≈xв=128,967 σ≈S=1,35
Вычислим теоретические вероятности по формуле:
pi'=hS∙φzi zi=xi-aS h=1
Составим расчетную таблицу:
p1'=11,35∙φ127-128,9671,35≈0,74∙φ-1,46≈0,1017
p2'=11,35∙φ128-128,9671,35≈0,74∙φ-0,72≈0,2278
p3'=11,35∙φ129-128,9671,35≈0,74∙φ0,02≈0,2952
p4'=11,35∙φ130-128,9671,35≈0,74∙φ0,77≈0,2195
p5'=11,35∙φ131-128,9671,35≈0,74∙φ1,51≈0,0944
p6'=11,35∙φ132-128,9671,35≈0,74∙φ2,25≈0,0235
Вычислим значение критерия:
χнабл2=n∙i=16(ni'-ni)2ni'
Составим таблицу:
№ pi
pi'
pi'-pi
(pi'-pi)2
n∙(pi'-pi)2pi'
1 0,17 0,1017 -0,0683 0,0047 1,3761
2 0,2 0,2278 0,0278 0,0008 0,1018
3 0,3 0,2952 -0,0048 0 0,0023
4 0,2 0,2195 0,0195 0,0004 0,052
5 0,1 0,0944 -0,0056 0 0,01
6 0,03 0,0235 -0,0065 0 0,0539
1,5961
χнабл2=1,5961
По таблице распределения критических значений χ2 при доверительной вероятности 0,9 и числу степеней свободы: k=6-2-1=3
χкрит23;0,9=6,25
Так как χнабл2<χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении принимается.
8) Выдвинем гипотезу о равномерном распределении случайной величины Y на 26;30
Теоретические частоты найдем по формуле:
pi'=15=0,2
Вычислим значение критерия:
χнабл2=n∙i=16(pi'-pi)2pi'
Составим таблицу:
№ pi
pi'
pi'-pi
(pi'-pi)2
n∙(pi'-pi)2pi'
1 0,26 0,2 -0,06 0,0036 0,54
2 0,23 0,2 -0,03 0,0009 0,135
3 0,37 0,2 -0,17 0,0289 4,335
4 0,07 0,2 0,13 0,0169 2,535
5 0,07 0,2 0,13 0,0169 2,535
10,08
χнабл2=10,08
По таблице распределения критических значений χ2 при доверительной вероятности 0,9 и числу степеней свободы: k=5-2-1=3
χкрит22;0,9=4,61
Так как χнабл2>χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении отвергается.
9) Выдвинем гипотезу H0 об отсутствии линейной связи между X и Y
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Tнабл=rВ∙n-21-rВ2=0,811∙231-0,8112≈6,648
По таблице критических значений при доверительной вероятности γ=0,9 и числу степеней свободы k=25-2=23, находим:
Tкрит23;0,9=1,31
Так как Tнабл>Tкрит, го гипотеза об отсутствии связи между величинами отвергается
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
