N=5
Для табличной функции:
x 1 2,5 4 5 6,1
y 5,5 1,9 4 1 6
1. Построить интерполяционный многочлен (Лагранжа или Ньютона по выбору).
2. Найти точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Решение
1) Для функции, заданной таблично, интерполяционный полином Лагранжа можно представить в виде
.
Из таблицы видно, что полином Лагранжа 4-й степени, т.е. n=4, так как имеются 5 точек. Построим полином Лагранжа:
Упрощая, получим:
.
Построим его график и отметим на нем точки (xi;yi), i=0,1,2,3,4 (рис.1).
Рис.1 – График многочлена Лагранжа
Согласно виду построенной кривой, многочлен Лагранжа не имеет точек пересечения с осью Ох. Значит, многочлен Лагранжа не имеет действительных корней.
б) Найдем экстремумы функции Лагранжа. Для этого найдем нули производной функции, т.е. функции
Построим ее график (рис.2).
Рис.2 – График производной многочлена Лагранжа
По графику определяем, что корни производной находятся на отрезках [1,5;2], [3,5;4], [5;5,5].Уточним их методом деления отрезка пополам (бисекции) с точностью ε=0,001.
Отрезок . Значит, . Получаем
k a b f(a) f(b) x=(a+b)/2 f(x) |b-a| |b-a|<ε?
0 1,5 2 -4,14985 1,5732 1,75000 -0,73374 0,5 Нет
1 1,75 2 -0,73374 1,5732 1,875 0,548994 0,25 Нет
2 1,75 1,875 -0,73374 0,548994 1,8125 -0,05888 0,125 Нет
3 1,8125 1,875 -0,05888 0,548994 1,84375 0,253281 0,0625 Нет
4 1,8125 1,84375 -0,05888 0,253281 1,828125 0,099274 0,03125 Нет
5 1,8125 1,828125 -0,05888 0,099274 1,8203125 0,020716 0,015625 Нет
6 1,8125 1,8203125 -0,05888 0,020716 1,81640625 -0,01895 0,0078125 Нет
7 1,81640625 1,823125 -0,01895 0,020716 1,8197656 0,01578 0,003359 Нет
8 1,81640625 1,8197656 -0,01895 0,01578 1,81809 -0,00182 0,0016756 Нет
9 1,81809 1,8197656 -0,00182 0,01578 1,8189278 0,006684 0,0008 Да
Экстремум многочлена Лагранжа на отрезке с точностью 0,001 равен х1 = 1,819.
Отрезок
. Значит, . Получаем
k a b f(a) f(b) x=(a+b)/2 f(x) |b-a| |b-a|<ε?
0 3,5 4 0,53055 -1,8836 3,75 -0,72254 0,5 Нет
1 3,5 3,75 0,53055 -0,72254 3,625 -0,09811 0,25 Нет
2 3,5 3,625 0,53055 -0,09811 3,5625 0,216862 0,125 Нет
3 3,5625 3,625 0,216862 -0,09811 3,59375 0,059389 0,06250 Нет
4 3,59375 3,625 0,059389 -0,09811 3,609375 -0,01938 0,03125 Нет
5 3,59375 3,609375 0,059389 -0,01938 3,6015625 0,020005 0,015625 Нет
6 3,6015625 3,609375 0,020005 -0,01938 3,60546875 0,000314 0,0078 Нет
7 3,60546875 3,609375 0,000314 -0,01938 3,607421875 -0,00953 0,0039 Нет
8 3,60546875 3,607421875 0,000314 -0,00953 3,60644531 -0,00461 0,00195 Нет
9 3,60546875 3,60644531 0,00314 -0,00461 3,605957 -0,00215 0,00097 Да
Экстремум многочлена Лагранжа на отрезке с точностью 0,001 равен х2 = 3,606.
Отрезок
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
