Построение факторной регрессионной модели

ЭТАП 1. Представление спецификаций факторной регрессионной модели.
Логический анализ возможности и характера взаимосвязи объясняемой переменной Y и объясняющих переменных X с точки зрения экономической теории и практики, и обоснование характера возможных взаимосвязей между результирующей переменной и переменными факторами.
На основе знаний экономической теории можно сделать заключение о том, что результирующая переменная Y1 – производительность труда слабо связана со всем набором факторов, взятых для моделирования. Фактор X17 – непроизводственные расходы вовсе не оказывает влияния на производительность труда. На производительность труда оказывают наибольшее влияние такие факторы, как численность работников, трудоемкость, расходы на производственную деятельность и так далее.
Факторы Y1 – производительность труда и X6 – удельный вес покупных изделий, возможно имеют слабую прямую связь, так как чем выше удельный вес покупных изделий, на которые не тратится время работников, тем выше производительность труда, за счет роста объема изделий. Факторы Y1 – производительность труда и X8 – премии и вознаграждения на одного работника, возможно также имеют слабую прямую связь, так как поощрения работников должны стимулировать к труду, но в то же время при наличии сторонних факторов, которые мешают росту производительности (например отсутствие технической оснащённости) данный фактор не окажет существенного влияния. Факторы Y1 – производительность труда и X11– среднегодовая численность промышленно-производственного персонала, возможно имеют сильную и прямую связь, так как чем выше кол-во квалифицированного персонала, тем выше производительность труда, за счет роста объемов производства. Факторы Y1 – производительность труда и X12 –среднегодовая стоимость ОПФ, возможно имеют слабую прямую связь, так как на производительность труда в большей степени оказывают такие показатели как фондоотдача и фондоемкость продукции. Связь между факторами Y1 – производительность труда и X17 – непроизводственные расходы, практически отсутствует, так как рост непроизводственных расходов не оказывает воздействия на производительность труда.
Исходное тестирование объясняющих переменных, проведение корреляционного анализа данных в Excel надстройка «Пакет анализа», корреляция.
Корреляционный анализ осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Корреляция» и заполняем необходимые поля диалогового меню. В результате получаем корреляционную матрицу, представленную в таблице 2.
Таблица 2
Корреляционная матрица
Y1
X6
X8
X11
X12
X17
Y1
1
X6
0,398 1
X8
0,211 - 0,168 1
X11
0,282 0,170 0,046 1
X12
0,201 0,167 0,044 0,768 1
X17
0,100 0,298 - 0,234 - 0,064 - 0,086 1
На основании проведенного корреляционного анализа можно сделать следующие выводы:Результирующая переменная (Y1 – производительность труда) имеет слабую и прямую связь со следующими факторами:
X8 – премии и вознаграждения на одного работника (rY1X8=0,211);
X11 – среднегодовая численность промышленно-производственного персонала (rY1X11=0,282);
X12 – среднегодовая стоимость ОПФ (rY1X12=0,201);
X17 – непроизводственные расходы (rY1X17=0,1).
Фактор X6 – удельный вес покупных изделий оказывает наибольшее влияние на результат из всего набора факторов. Связь фактора X6 с результатом умеренная и прямая (rY1X6=0,398).
В моделе наблюдается эффект коллинеарности факторов, так как факторы X11 – среднегодовая численность промышленно-производственного персонала и X12 – среднегодовая стоимость ОПФ имеют высокую и прямую по направлению связь (rX11X12=0,768).Остальные факторы не связаны между собой, так как их парные межфакторные коэффициенты корреляции менее 0,3.
ЭТАП 2. Идентификация параметров факторных регрессионных
моделей.
Идентификация параметров однофакторной регрессионной модели в Excel. Пакет анализа, «Регрессия». В качестве независимой переменной выбирается наиболее значимая переменная из матрицы X (см. ЭТАП 1).
На первом этапе был проведен корреляционный анализ всего набора факторов, на основании которого было установлено, что наибольшее влияние на результирующий фактор Y1 – производительность труда оказывает переменная X6 – удельный вес покупных изделий (rY1X6=0,398).
Регрессионный анализ осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню. В результате получаем данные, представленные на рисунках 1 и 2.
Рисунок 1 – Вывод итогов однофакторной регрессии
Рисунок 2 – Вывод остатков однофакторной регрессии
Получены следующие оценки параметров: a0=5,893 , a1=5,823.
На основе полученных результатов (рисунок 1) получаем уравнение однофакторной регрессии:
y=5,893+5,823×x6.
Данная модель показывает, что при увеличении удельного веса покупных изделий на 1 ед. изм. производительность труда увеличивается в среднем на 5,823 ед. изм.
Идентификация параметров многофакторной регрессионной модели в Excel. Пакет анализа, «Регрессия». В качестве независимых переменных рассматриваются все переменные матрицы X из индивидуального задания.
Множественный регрессионный анализ осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню. В результате получаем данные, представленные на рисунках 3 и 4.
Рисунок 3 – Вывод итогов многофакторной регрессии
Рисунок 4 – Вывод остатков множественной регрессии
Получены следующие оценки параметров множественной регрессии: a0=3,741 , a1=5,791, a2=0,932, a3=0,0001, a4=-0,002, a5=0,027.
На основе полученных результатов (рисунок 3) получаем уравнение множественной регрессии:
y=3,741+5,791x6+0,932x8+0,0001x11-0,002x12+0,027x17.
Полученное уравнение показывает:
при увеличении удельного веса покупных изделий на 1 ед. изм. (при неизменном уровне остальных факторов) производительность труда увеличивается в среднем на 5,791 ед . изм.;
при увеличении премий и вознаграждений на одного работника на 1 ед. изм. (при неизменном уровне остальных факторов) производительность труда увеличивается в среднем на 0,932 ед. изм.;
при увеличении среднегодовой численности промышленно-производственного персонала на 1 ед. изм. (при неизменном уровне остальных факторов) производительность труда увеличивается в среднем на 0,001 ед. изм.;
при увеличении среднегодовой стоимости ОПФ на 1 ед. изм. (при неизменном уровне остальных факторов) производительность труда снижается в среднем на 0,002 ед. изм.;
при увеличении непроизводственных расходов на 1 ед. изм. (при неизменном уровне остальных факторов) производительность труда увеличивается в среднем на 0,027 ед. изм.
ЭТАП 3. Проверка значимости параметров регрессионной модели
Проверка значимости параметров однофакторной модели линейной регрессии.
Оценим статистическую значимость параметров однофакторной регрессии на уровне значимости a =0,1 и a =0,05, используя t - статистику Стьюдента. Выдвигаем гипотезы:
H0:a0=0 – коэффициент статистически незначим;
H1:a0≠0 – коэффициент статистически значим.
H0: a1=0 – коэффициент статистически незначим;
H1: a1≠0 – коэффициент статистически значим.
Наблюдаемые значения t - статистики Стьюдента для параметров регрессии определены при помощи пакета анализа «Регрессия» (рисунок 1).
Наблюдаемые значения t - статистики Стьюдента для параметров регрессии составили:
ta0=8,771;ta1=3,002.
На следующем этапе находим табличное значение t – критерия Стьюдента по таблицам распределения Стьюдента или пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х»:
tкритn-m-1;a=tкрит50-1-1=48;0,1=1,677.
Таким образом, раз |t a0|=8,771 >tкрит=1,677, то статистическая значимость коэффициента регрессии a0 на уровне значимости 10% подтверждается; |t a1|=3,002 >tкрит=1,677, то статистическая значимость коэффициента регрессии a1 на уровне значимости 10% подтверждается.
tкритn-m-1;a=tкрит50-1-1=48;0,05=2,011.
Таким образом, раз |t a0|=8,771 >tкрит=2,011, то статистическая значимость коэффициента регрессии a0 на уровне значимости 10% подтверждается; |t a1|=3,002 >tкрит=2,011, то статистическая значимость коэффициента регрессии a1 на уровне значимости 5% подтверждается.
Таким образом, найденные параметры уравнения однофакторной регрессии статистически значимы при уровне значимости равном 10% и 5%.
Проверка значимости параметров множественной модели линейной регрессии.
Оценим статистическую значимость параметров множественной регрессии на уровне значимости a =0,1 и a =0,05, используя t - статистику Стьюдента. Выдвигаем гипотезы:
H0:a0=0 – коэффициент статистически незначим;
H1:a0≠0 – коэффициент статистически значим.
H0: a1=0 – коэффициент статистически незначим;
H1: a1≠0 – коэффициент статистически значим.
H0: a2=0 – коэффициент статистически незначим;
H1: a2≠0 – коэффициент статистически значим.
H0: a3=0 – коэффициент статистически незначим;
H1: a3≠0 – коэффициент статистически значим.
H0: a4=0 – коэффициент статистически незначим;
H1: a4≠0 – коэффициент статистически значим.
H0: a5=0 – коэффициент статистически незначим;
H1: a5≠0 – коэффициент статистически значим.
Наблюдаемые значения t - статистики Стьюдента для параметров регрессии определены при помощи пакета анализа «Регрессия» (рисунок 3).
Наблюдаемые значения t - статистики Стьюдента для параметров регрессии составили:
ta0=2,529;ta1=2,867;ta2=2,138;ta3=1,311;ta4=-0,369;ta5=0,426.
На следующем этапе находим табличное значение t – критерия Стьюдента по таблицам распределения Стьюдента или пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х»:
tкритn-m-1;a=tкрит50-5-1=44;0,1=1,680.
Таким образом, раз |t a0|=2,529 >tкрит=1,680, то статистическая значимость коэффициента регрессии a0 на уровне значимости 10% подтверждается; |t a1|=2,867 >tкрит=1,680, то статистическая значимость коэффициента регрессии a1 на уровне значимости 10% подтверждается; |t a2|=2,138 >tкрит=1,680, то статистическая значимость коэффициента регрессии a2 на уровне значимости 10% подтверждается; |t a3|=1,311<tкрит=1,680, то статистическая значимость коэффициента регрессии a3 на уровне значимости 10% не подтверждается;|t a4|=0,369<tкрит=1,680, то статистическая значимость коэффициента регрессии a4 на уровне значимости 10% не подтверждается; |t a5|=0,426<tкрит=1,680, то статистическая значимость коэффициента регрессии a5 на уровне значимости 10% не подтверждается.
tкритn-m-1;a=tкрит50-5-1=44;0,05=2,015.
Таким образом, раз |t a0|=2,529 >tкрит=2,015, то статистическая значимость коэффициента регрессии a0 на уровне значимости 10% подтверждается; |t a1|=2,867 >tкрит=2,015, то статистическая значимость коэффициента регрессии a1 на уровне значимости 5% подтверждается; |t a2|=2,138 >tкрит=2,015, то статистическая значимость коэффициента регрессии a2 на уровне значимости 5% подтверждается; |t a3|=1,311<tкрит=2,015, то статистическая значимость коэффициента регрессии a3 на уровне значимости 5% не подтверждается; |t a4|=0,369<tкрит=2,015, то статистическая значимость коэффициента регрессии a4 на уровне значимости 5% не подтверждается; |t a5|=0,426<tкрит=2,015, то статистическая значимость коэффициента регрессии a5 на уровне значимости 5% не подтверждается.
Таким образом, коэффициенты регрессии a3, a4, a5 признаны статистически не значимыми, их следует удалить из модели и построить модель множественной линейной регрессии только со значимыми факторами.
Множественный регрессионный анализ осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. В результате получаем данные, представленные на рисунках 5 и 6.
Рисунок 5 – Вывод итогов многофакторной регрессии
Получены следующие оценки параметров множественной регрессии: a0=4,694 , a1=6,529, a2=0,944.
На основе полученных результатов (рисунок 5) получаем уравнение множественной регрессии:
y=4,694+6,529x6+0,944x8.
Полученное уравнение показывает:
при увеличении удельного веса покупных изделий на 1 ед