Пользуясь только определением интеграла как предела интегральных сумм

Abyxdx=limn→∞max∆xi→0i=1nyξi∆xi, ∆xi=xi+1-xi, xi-1≤ξi≤xi
Значение интеграла не зависит от выбора точки ξi
Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей:
xi=-1+2in, i=0,…,n, x0=-1, xn=1
∆xi=-1+2(i+1)n--1+2in=2n
Выберем ξi:
ξi=xi+xi+12=-1+2in-1+2i+1n2=-1+2in+1n
Тогда, получаем:
i=1nyξi∆xi=i=1n2-1+2in+1n+5∙2n=2n∙limn→∞i=1n-2+4in+2n+5=
=2n∙i=1n3+4in+2n=2n∙3n+8n2∙1+nn2+4n2∙n=6+8(n2+n)2n2+4n=10+8n
-11(2x+5)dx=limn→∞10+8n=10
Определим функцию:
Dx=0, x иррационально1, x рационально
В самом деле, на любом сколь угодно малом сегменте [xi-1;xi] найдутся как рациональная, так и иррациональная точка