Положим, изучаемая генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения. Найдите доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при условии, что дисперсия неизвестна и доверительная вероятность задаётся формулой γ=0,9+0,01∙i, где i=2 – последняя цифра шифра зачётной книжки.
Вариант 2
Для изучения распределения заработной платы работников некоторой отрасли за определённый промежуток времени обследовано 100 человек. Результаты представлены ниже:
2,0 3,2 5,2 4,8 3,8 2,8 4,9 3,2 3,9 1,8
3,7 3,2 4,5 2,5 2,3 3,4 1,1 5,7 3,3 2,7
2,5 1,4 2,1 3,9 2,2 1,2 4,2 5,4 2,3 4,1
3,8 3,2 6,1 2,1 3,8 2,5 1,7 2,9 5,9 7,1
3,9 4,2 5,8 1,8 4,2 6,1 5,1 3,3 4,2 3,6
3,0 2,3 1,5 3,3 3,7 2,4 1,6 2,7 4,2 5,9
4,7 5,4 3,2 2,7 1,8 2,5 3,7 4,8 5,8 6,6
2,8 5,4 3,2 1,6 4,7 3,3 4,9 5,3 5,1 3,2
1,2 2,4 6,2 7,4 7,7 6,9 7,1 8,2 6,3 5,3
2,2 5,7 4,3 5,1 4,9 2,3 1,4 7,7 6,1 5,1
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1. Объем выборки n = 100.
Минимальное значение хmin = 1,1
Максимальное значение хmах = 8,2, размах = 8,2 – 1,1 = 7,1.
Проведем группировку исходных данных. Количество интервалов подсчитаем по формуле Стерджесса.k = 1+3,322∙lg n k = 1+3,322∙lg 100 7
Так как вычисленное количество интервалов – 7, то выборку разобьем на 7 равных интервалов. Величина отдельного интервала: .
Вычислим частоту каждого интервала, получим интервальный статистический ряд:
Интервал
1,1 2,12 15
2,12 3,14 19
3,14 4,16 23
4,16 5,18 18
5,18 6,2 15
6,2 7,22 6
7,22 8,24 4
Сумма 100
2. Вычислим относительные частоты и накопленные частоты, а также середины интервалов и допишем их в нашу таблицу - статистический ряд – в виде столбцов. Относительные частоты находим по формуле , где n = 100 – объем выборки.
Интервал Относительные частоты, Накопленные относительные частоты
1,1 2,12 1,61 15 0,15 0,15 0,147
2,12 3,14 2,63 19 0,19 0,34 0,186
3,14 4,16 3,65 23 0,23 0,57 0,225
4,16 5,18 4,67 18 0,18 0,75 0,176
5,18 6,2 5,69 15 0,15 0,9 0,147
6,2 7,22 6,71 6 0,06 0,96 0,059
7,22 8,24 7,73 4 0,04 1 0,039
Сумма
100 1 – –
3
. Графическим представлением интервального ряда является гистограмма. Гистограмма относительных частот – это ступенчатая фигура, которая состоит из прямоугольников, которые строятся на данных интервалах и имеют высоту (плотность относительной частоты).
Гистограмма относительных частот
4. Построим график накопленных относительных частот.
Он строится в виде гистограммы, высоты прямоугольников равны относительным накопленным частотам.
5. Составим эмпирическую функцию распределения.
Эмпирическая функция распределения – это ступенчатая функция, принимающая на интервалах значение соответствующей накопленной относительной частоты:
6. Вычислим точечные оценки параметров законов распределения.
Для удобства вычислений составляем расчетную таблицу.
левая правая хi ni ni хi ni хі2
1,1 2,12 1,61 15 24,15 38,8815
2,12 3,14 2,63 19 49,97 131,4211
3,14 4,16 3,65 23 83,95 306,4175
4,16 5,18 4,67 18 84,06 392,5602
5,18 6,2 5,69 15 85,35 485,6415
6,2 7,22 6,71 6 40,26 270,1446
7,22 8,24 7,73 4 30,92 239,0116
Объём выборки: 100 398,66 1864,078
Выборочное среднее : 3,99 18,64078
Смещённая выборочная дисперсия: 2,748
Несмещённая выборочная дисперсия: 2,776
Смещённое выборочное среднее квадратическое: 1,658
Несмещённое выборочное среднее квадратическое: 1,666
Мода 3,59
Медиана 3,85
Среднее выборочное - это математическое ожидание выборки, то есть выборочное среднее является средним арифметическим выборочных значений:
Выборочная дисперсия (смещенная оценка):
= ∙1864,078 – 3,992 = 2,748.
Несмещенная оценка дисперсии:
2,748 = 2,776.
Выборочное стандартное отклонение - это корень квадратный из выборочной дисперсии:
= .
Несмещенное (исправленное) среднее квадратичное отклонение:
1,666.
Мода Мо интервального статистического распределения выборки :
Мо =
Интервал
1,1 2,12 15
2,12 3,14 19
3,14 4,16 23
4,16 5,18 18
5,18 6,2 15
6,2 7,22 6
7,22 8,24 4
Здесь модальный интервал : 3,14–4,16 (интервал с самой большой частотой), тогда начало модального интервала = 3,14; длина интервала h = 1,02; частота модального интервала =23; частота домодального интервала =19; частота послемодального интервала =18; тогда
Мо = .
Медиана Ме интервального статистического распределения выборки определяется по формуле: , где х0 – начало медианного интервала , то есть интервала (3,14–4,16), в котором находится серединный элемент, k – длина медианного интервала, n – объем выборки, – сумма частот интервалов, которые предшествуют медианному, nі – частота медианного интервала.
То есть здесь Ме = 3,85.
7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
