Положим, изучаемая генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения. Найдите доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при условии, что дисперсия неизвестна и доверительная вероятность задаётся формулой γ=0,9+0,01∙i, где i – последняя цифра шифра зачётной книжки.
Вариант 6
На некотором участке дороги проведены измерения скорости автомобилей, км/ч. Результаты измерения даны ниже.
41 41 29 25 41 43 42 34 41 30
23 48 50 36 35 46 28 46 50 41
55 27 43 53 48 47 34 35 29 42
30 35 38 41 36 38 45 59 44 43
60 56 46 30 50 44 58 30 54 29
57 47 70 63 42 35 48 44 63 30
Решение
Внесём данные выборки в МS Ехсеl, проведем вычисления:
1. Объем выборки n = 60.
Минимальное значение хmin = 23; максимальное значение хmах = 70;
размах: =70 – 23 = 47.
Поскольку размах довольно велик, составим вариационный ряд по интервалам.
Проведем группировку исходных данных. Количество интервалов подсчитаем по формуле Стерджесса.k = 1+3,322∙lg n k = 1+3,322∙lg 60 7
Так как вычисленное количество интервалов – 7, то выборку разобьем на 7 равных интервалов. Величина отдельного интервала: .
Вычислим частоту каждого интервала, единица, обладающая двойным значением, относится к той группе, где она выступает в роли верхней границы. Получим интервальный статистический ряд:
Интервал
19,5 26,5 2
26,5 33,5 10
33,5 40,5 10
40,5 47,5 21
47,5 54,5 8
54,5 61,5 6
61,5 68,5 2
68,5 75,5 1
Сумма 110
При построении интервалов начальное значение xнач первого интервала обычно вычисляют по формуле xнач=xmin-0,5*h, конечное значение xкон последнего интервала должно удовлетворять условию xкон-h<xmax<xкон. Учитывая это условие получили на один интервал больше (8).
В данном примере частоты первого и последних двух интервалов меньше пяти (2, 2 и 1 соответственно). Поэтому объединим первый интервал со вторым, а два последних интервала с пред-пред-последним. Соответственно изменятся и частоты объединённых интервалов (число интервалов теперь равно 5):
Интервал [19,5; 33,5) [33,5; 40,5) [40,5; 47,5) [47,5; 54,5) [54,5; 75,5)
Частота ni
6 11 17 27 17
2
. Построим группированный ряд наблюдений, найдём середины интервалов, вычислим относительные и накопленные относительные частоты, а также плотности относительных частот
Номер
инт-ла Интервал Середина
интервала
xi
Частота
ni
Относи-тельная частота
ωi
Накопленная относительная
частота
ωiнак
ωih
1 [19,5; 33,5) 26,5 12 0,2 0,2 0,01
2 [33,5; 40,5) 37 10 0,17 0,37 0,05
3 [40,5; 47,5) 44 21 0,35 0,72 0,10
4 [47,5; 54,5) 51 8 0,13 0,85 0,12
5 [54,5; 75,5) 65 9 0,15 1 0,05
Сумма
60
3. Представим графически статистический ряд в виде гистограммы.
Поскольку исследуем статистический ряд для непрерывной случайной величины, выполним построение гистограммы относительных частот. В роли значения функции, описанной в легенде, выступает плотность относительной частоты.
Гистограмма относительных частот
4. Построим график накопленных относительных частот.
Используем вычисленные накопленные частоты, полученные на предыдущем шаге, и построим график накопленных относительных частот:
5. Составим эмпирическую функцию распределения.
Запишем её, используя данные накопленных относительных частот:
6. Вычислим точечные оценки параметров законов распределения.
Для нахождения числовых характеристик составляем расчетную таблицу.
Вычисления выполним в MS Excel.
Левая
граница Правая
граница Середина
интервала Частоты Произведение середины
интервала
на частоту Произведение квадрата середины
интервала
на частоту
19,5 33,5 26,5 12 318 8427
33,5 40,5 37 10 370 13690
40,5 47,5 44 21 924 40656
47,5 54,5 51 8 408 20808
54,5 75,5 65 9 585 38025
Объём выборки: 60 2605 121606
Выборочное среднее : 43,42 2026,7667
Смещённая выборочная дисперсия:
141,7597
Несмещённая выборочная дисперсия:
144,1624
Смещённое выборочное среднее квадратическое: 11,9063
Несмещённое выборочное среднее квадратическое: 12,0068
Мода Мо = 34,58
Медиана Ме = 46,10
Среднее арифметическое (выборочная средняя):
, n = 60.
Выборочная средняя является несмещенной оценкой.
Выборочная (смещенная) дисперсия:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
