По заданным исходным данным для заданного варианта выполнить следующее:
1. Определить деформации εx и εz.
2. Определить напряжения σx, σy и σz.
3. Определить внешнюю нагрузку Pvz на верхней грани кубика.
4. Построить векторные диаграммы напряжений и деформаций на гранях кубика для рассмотренного варианта.
5. Сделать выводы.
Постановка задачи: Плита абсолютно жёсткая. Кубик без зазоров вставлен в паз плиты.Внешняя нагрузка, действующая на кубик, равномерно распределённая Pvz. В направлении оси Ox деформация Ex возникать не может. В направлении оси Ox деформация Ez возможна, но неизвестна. Допускаемые напряжения σдоп=250 МПа.
Исходные данные (по вариантам)
№
варианта Размеры
кубика a=b=c,
м Коэффициент Пуассона
,
безразм. Модуль упругости
материала
при растяжении-сжатии
Е,
Н/м2 Относительная линейная
деформация вдоль оси OY
,
безразм.
2 0,009 0,26 1,5·1011 0,0003
Рисунок 1 Расчетная схема задачи
Решение
Б) нормальные напряжения в направлении оси OY отсутствует, т.к. кубик в этом направлении ничем не стеснен и внешней нагрузки в этом направлении нет, т.е.
σy=0
Перейдем к рассмотрению уравнений обобщенного закона Гука. Вычислим заранее коэффициенты Ламе.
λ=μ∙E1+μ∙1-2μ=0,26∙1,5∙10111+0,26∙(1-2∙0,26)=0,645∙1011 Н/м2
2G=E1+μ=1,5∙10111+0,26=1,19∙1011 Н/м2
Теперь обратимся ко второму уравнению системы уравнений обобщенного закона Гука.
σy=λεx+εy+εz+2Gεy.
Учтем, что в этом уравнении σy=0 и εx=0. Тогда будем иметь
0=λεy+εz+2Gεy.
Из этого уравнения выразим относительную деформацию εz. Выполним эти преобразования:
λεy+λεz+2Gεy=0;
λεz=-λεy-2Gεy=-λ+2Gεy;
εz=-λ+2Gεyλ=-1+2Gλεy.
Вычислим по полученной формуле относительную линейную деформацию εz:
εz=-1+1,19∙10110,645∙1011∙0,0003=-0,000853.
Таким образом, имеем все три относительных деформаций:
εx=0 ;εy=0,0003; εz=-0,000853.
Знак «минус» для деформации εz означает, что это деформация сжатия.
Определение напряжений.
Теперь из первого уравнения системы уравнений обобщенного закона Гука можно определить нормальное напряжение σx:
σx=λεx+εy+εz+2Gεx=
=0,645∙1011∙0+0,0003-0,000853+1,19∙1011∙0=
=-35,6685∙106 Н/м2
Из третьего уравнения системы уравнений обобщенного закона Гука можно определить нормальное напряжение σz.
σz=λεx+εy+εz+2Gεz=
=0,645∙1011∙0+0,0003-0,000853+1,19∙1011∙(-0,000853)=
=-137,1755∙106 Н/м2
Таким образом, имеем все три нормальных напряжения:
σx=-35,6685∙106 Н/м2; σy=0; σz=-137,1755∙106 Н/м2
Переведем размерности напряжений в мегапаскали (МПа)
.
Тогда напряжения в МПа будут иметь вид:
σx=-35,6685 МПа; σy=0; σz=-137,1755 МПа
Знак «минус» для напряжений σx и σz означает, что это напряжения сжатия.
Определение внешней нагрузки.
Для определения внешней нагрузки Pvz обратим свое внимание на систему уравнений равновесия элементарного тетраэдра
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
