Подобрать прокатный профиль сечения из условия общей устойчивости стержня

Предел текучести для Стали – σт=360 Мпа принимая коэффициент запаса прочности n=2,0 определяем допускаемое (по прочности на сжатие) напряжение:
.
Коэффициент приведения длины для данного способа закрепления стержня μ=1,35.
2. Рассматриваемый стержень может потерять общую устойчивость либо в плоскости XY , либо в плоскости XZ (эти плоскости являются главными плоскостями инерции). Момент инерции сечения стержня Jz (следовательно, и устойчивость стержня в плоскости XY ) зависит только от размеров сечения швеллеров, поэтому номер швеллера определим из условия устойчивости стержня в плоскости XY. Расчет будем вести с помощью коэффициента снижения основных допускаемых напряжений материала стержня на сжатие - . Расчет в данном случае является проектным, гибкость стержня не известна и расчет приходится производить методом последовательных приближений.
Первое приближение
Так как коэффициент может изменяться в пределах 0<φ<1, то его значение в первом шаге приближения можно принять φ=0.5. Тогда требуемая площадь поперечного сечения стержня
F1=Pφ1∙σ=1100000,5∙180∙106=12,22∙10-4 м2=12,22 см2.
Площадь сечения одного швеллера см2. По сортаменту швеллеров (ГОСТ 8240-89) принимаем швеллер №10 с площадью см2. Таким образом, фактическая площадь сечения в первом приближении оказывается равной . Радиус инерции сечения всего стержня относительно оси Z равен радиусу инерции одного швеллера (по сортаменту) . (Радиус инерции сечения всего стержня относительно оси Z равен радиусу инерции одного швеллера).
Гибкость стержня
λ1=μliz=1,36∙10003,99=340,85>λпр=200.
Второе приближение
Примем во втором приближении предельную гибкость стержня 200. Тогда коэффициент продольного изгиба φ=0,19.
Тогда площадь сечения стойки
F2=Pφ∙σ=1100000,19∙180∙106=32,16∙10-4 м2=32,16 см2
По ГОСТ 8240-89 принимаем швеллер № 18 с Fш=20,7 см2 и площадью сечения стойки F=41,4 см2 . Радиус инерции iz=7,24 см.
Гибкость стойки
λ2=μliz=1,36∙10007,24=187,85<λпр=200.
Коэффициент продольного изгиба для λ2=187,85
φ=0,21-0,23-0,2110∙2,15=0,206.
Напряжение в сечении стойки
σ=Pφ∙F=1100000,206∙41,4∙10-4=128980817 Па=128,98 МПа<σ=180 МПа.
Ближайшим к принятому швеллеру будет швеллер № 16, однако у него iz=6,42, что дает гибкость λ=212>λпр=200. Поэтому окончательно принимаем сечение стойки 2 швеллера № 18.
Выпишем из сортамента необходимые геометрические характеристики швеллера № 18:
3. Определим расстояние a между швеллерами в сечении из условия обеспечения общей устойчивости стержня ( из плоскости Y ). Расстояние должно быть таким, чтобы устойчивость стержня в плоскости а XZ была не меньше чем в плоскости XY , следовательно (считая закрепление стержня в главных плоскостях инерции стержня одинаковым) должно выполнятся условие . Момент инерции сечения стержня относительно оси Z равен удвоенному моменту инерции одного швеллера относительно той же оси – 2Jz. Момент инерции всего сечения относительно оси Y по теореме Штейнера: , где F - площадь одного швеллера; Jy1 - момент инерции одного швеллера относительно собственной центральной оси Y1; a1 - расстояние между осями Y и Y1. Учитывая, что , условие можно записать в виде . Полагая, что при обеспечение устойчивости стойки будет обеспечено при равенстве моментов инерции относительно осей Z и Y, найдем расстояние a между стенками швеллеров. Момент инерции сечения стойки относительно оси z, будет равен 2Iz=2∙1090=2180 см4. Определяем расстояние между стенками профилей в сечении:
286+20,7a2-1,942=2180.
Решая полученной уравнение относительно a, получим a=17,8 см.
Окончательно принимаем a=18,0 см.
4