По территориям региона приводятся данные за 201Xг. (p1 – число букв в полном имени, p2 – число букв в фамилии):
Студент – ____________________________________
р1 = 5; р2 = 11
Номеррегиона Среднедушевой прожиточныйминимум в день одноготрудоспособного, руб., x
Среднедневная заработнаяплата, руб., y
1 78+р1
133+ р2
2 80+р2
148
3 87 135+р1
4 79 154
5 106 157+р1
6 106+ р1
195
7 67 139
8 98 158+ р2
9 73+р2
152
10 87 162
11 86 146+ р2
12 110+р1
173
Требуется:
1.Построить линейное уравнение парной регрессии у по х.
2.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
3.Оценить статистическую значимость уравнения регрессии вцелом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4.Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозномзначении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем107% от среднего уровня.
5.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и егодоверительный интервал.
6.На одном графике отложить исходные данные итеоретическую прямую.
7.Проверить вычисления в MS Excel.
Решение
Рассчитаем параметры линейной парной регрессии от :
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
83 144 11952 6889 20736 150,4504 -6,45038 41,60742 4,479432
91 148 13468 8281 21904 157,7643 -9,76429 95,34143 6,597496
87 140 12180 7569 19600 154,1073 -14,1073 199,017 10,07667
79 154 12166 6241 23716 146,7934 7,206574 51,93471 4,679594
106 162 17172 11236 26244 171,4779 -9,47788 89,83017 5,850542
111 195 21645 12321 38025 176,0491 18,95093 359,1376 9,718424
67 139 9313 4489 19321 135,8226 3,177442 10,09614 2,285929
98 169 16562 9604 28561 164,164 4,836034 23,38722 2,861558
84 152 12768 7056 23104 151,3646 0,635379 0,403707 0,418013
87 162 14094 7569 26244 154,1073 7,892662 62,29412 4,872014
86 157 13502 7396 24649 153,1931 3,806901 14,4925 2,424778
115 173 19895 13225 29929 179,706 -6,70603 44,97082 3,876317
Итого 1094 1895 174717 101876 302033 1895 1,99E-13 992,5129 58,14077
Средние значения 91,17 157,92 14559,75 8489,67 25169,42 157,92 – – –
13,35 15,22 – – – – – – –
178,31 231,74 – – – – – – –
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Получим: Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемсреднедушевого прожиточного минимума на 1 руб
. среднедневнаязаработная плата возрастает в среднем на 0,91 руб. (или 91 коп.).
После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7-10таблицы 1.
Выполним оценку тесноту связи между переменными с помощью коэффициента корреляции и средней ошибки аппроксимации:
Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :
Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит оналичии весьма тесной линейной связи между признаками.Коэффициент детерминации:
.
Это означает, что 64,3% вариации заработной платы (у) объясняетсявариацией фактора - среднедушевого прожиточного минимума.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10%.
3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целомпроведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение критерия по формуле составит
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет Fтабл =4,96. Так как Fфакт =18,02 > Fтабл =4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым.
Оценку статистической значимости параметров регрессии икорреляции проведем с помощью статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.
Табличное значение критерия для числа степеней свободыи уровня значимости α = 0,05 составит tтабл = 2,23.
Далее рассчитываем по каждому из параметров его стандартные ошибки: , и .
Фактическое значение статистик
, ,
Фактические значения статистики превосходят табличноезначение: ; ; ,поэтому параметры , и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
