По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом 2 задания

В исходной системе присутствуют три группы элементов 2, 5 и 7; 3 и 8; 4, 6 и 9, которые внутри каждой группы образуют последовательное соединение. Заменяем эти последовательные соединения соответствующими квазиэлементами A, B и C, вероятности безотказной работы которых, учитывая p2=p3=p4=p5=p6=p7=p8=p9, будут равны:
pA=p2*p5*p7=p2*p2*p2=p23. (1)
pB=p3*p8=p2*p2=p22. (2)
pC=p4*p6*p9=p2*p2*p2=p23. (3)
В исходной системе элементы 10, 11, 12, 13 и 14 образуют мажоритарное соединение «2 из 5», которое заменяем квазиэлементом D. Так как p10=p11=p12=p13=p14, то для определения вероятности безотказной работы элемента D можно воспользоваться комбинаторным методом:
pD=i=03C5i*p105-i*1-p10i=5!5!*0!*p105-0*1-p100+
+5!4!*1!*p105-1*1-p101+5!3!*2!*p105-2*1-p102+
5!2!*3!*p105-3*1-p103=p105+5*p104*1-p10+10*p103*1-p102+
+10*p102*1-p103=10*p102-20*p103+15*p104-4*p105. (4)
Преобразованная таким образом схема с элементами A, B, C и D изображена на рисунке 2.
Рисунок 2 – Преобразованная на первом этапе схема
В схеме по рисунку 2 имеет место параллельное соединение элементов А, В и С. Заменяем их квазиэлементом E с вероятностью безотказной работы:
pE=1-1-pA*1-pB*1-pC. (5)
В результате второго этапа преобразований получаем схему, показанную на рисунке 3.
Рисунок 3 – Преобразованная на втором этапе схема
В схеме по рисунку 3 имеет место последовательное соединение четырех элементов: 1, E, D и 15. Соответственно вероятность безотказной работы системы будет равна:
P=p1*pE*pD*p15. (6)
Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 по 15 (рисунок 1) подчиняются экспоненциальному закону:
pi=e-λi*t. (7)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1-15 по формуле (7) для наработки до 1,2*106 ч представлены в таблице 1.
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, С, D, Е, а также системы в целом по формулам (1) - (6) также приведены в таблице 1.
На рисунке 4 показан график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.
По графику (рисунок 4) находим для γ=95 % (Pγ=0,95) γ-процентную наработку системы Tγ=0,05*106 ч . Проверочный расчет при t=0,05*106 ч показывает (таблица 1), что Pγ=0,95037≈0,95.
Исходя из задания, рассчитываем повышенный в 1,5 раза ресурс службы системы:
Tγ'=1,5*Tγ=1,5*0,063*106=0,0945*106 ч.
Далее рассмотрим метод, предполагающий увеличение надежности системы за счет увеличения надежности входящих в нее элементов.
По результатам расчета (Таблица 1) видим, что при t=0,0945*106 ч для элементов преобразованной схемы (Рисунок 3):
p1=0,98128; pD=0,99994; pE=0,99842; p15=0,94488.
Следовательно, из четырех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент 15, поэтому увеличение именно его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.
Для того, чтобы при Tγ'=0,0945*106 ч система имела вероятность безотказной работы Pγ=0,95, необходимо, чтобы элемент 15 имел вероятность безотказной работы:
p15=PγpD*pE*p1=0,950,99994*0,99842*0,98128=0,96971. (8)
При этом значение p15 по формуле (8) является минимальным для выполнения условия увеличения ресурса не менее чем в 1,5 раза, при более высоких значениях p15 увеличение надежности системы будет еще большим.
Так как все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (7), то для элемента 15 при t=0,0945*106 ч:
λ15'=-lnp15t=-ln0,969710,0945*106=0,325*10-6 1ч.
Таким образом, для заданного увеличения ресурса системы необходимо увеличить надежность элемента 15 и снизить интенсивность его отказов с 0,6 до 0,325*10-6 1ч, то есть практически в 2 раза.
Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элемента 15 приведены в таблице 1