По структурной схеме надежности технической системы (рисунок 1) , требуемому значению вероятности безотказной работы системы γ =85% и значениям интенсивностей отказов ее элементов λi требуется:
1. Построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0,1 – 0,2.
2. Определить - процентную наработку технической системы.
3. Обеспечить увеличение - процентной наработки не менее, чем в 1.5 раза за счет:
а) повышения надежности элементов;
б) структурного резервирования элементов системы.
Все элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации (простейший поток отказов). Резервирование отдельных элементов или групп элементов осуществляется идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются идеальными. На схемах обведенные пунктиром m элементов являются функционально необходимыми из n параллельных ветвей. Значения интенсивности отказов элементов даны в 10-6 1/ч: λ1 =0,1; λ2 =λ3 = λ4 =0,5; λ5= λ6 =λ7= 0,2; λ8 =λ9 = λ10 = 0,01; λ11= λ12 =λ13 =0,5; λ14= 0,1. γ =80%
Рисунок 1 – Структурная схема надежности cистемы
Решение
1. В исходной схеме элементы 2 , 3 и 4 (рисунок 1) образуют соединение типа «m из n», в данном случае m= 1 и n= 3 , которое заменяем квазиэлементом A. Преобразованная схема приводится на рисунке 2.
Рисунок 2 – Схема с квазиэлементом А
2. Так как р2 = р3 = р4 , то для определения вероятности безотказной работы квазиэлемента А можно применить комбинаторный метод , но при m= 1 система «m из n» может рассчитываться и как параллельное соединение по формуле:
Pп =1 – i=1n(1-pi) , (1)
где pi – вероятность безотказной работы i-го элемента система.
Тогда вероятность безотказной работы квазиэлемента PА определяется по формуле (1):
PА =1-(1- p2)∙(1-p3)∙(1-p4) , (2)
По условию р2 = р3= р4, получим
PА = 1-(1-p2)3, (3)
3. Элементы 5,6 и 7 также образуют соединение типа «m из n», в данном случае m= 2 и n= 3 , которое заменяется квазиэлементом B. Преобразованная схема приводится на рисунке 3.
Рисунок 3 – Схема с квазиэлементами А и B
4. Так как р5 = р6 = р7 , то для определения вероятности безотказной работы квазиэлемента B можно применить комбинаторный метод
В этом случае вероятность безотказной работы РB рассчитывается по формуле:
PB= k=mn=3pk=k=mn=3Cnkpk(1-p)n-k, (4)
где m – количество элементов, при которых квазиэлемент исправен
( m =2,3 );
Сnk - биномиальный коэффициент, называемый “числом сочетаний
по k из n“ (т.е. сколькими разными способами можно
реализовать ситуацию “k из n“).
Биномиальный коэффициент определяется по формуле:
Cnk =n!k!(n-k)! , (5)
Подставив количество элементов соединения n = 3 и количество элементов, обеспечивающих его работоспособность k = 1 в формулу (7), получим:
PB= C33p3(1-p)3-3+C32p2(1-p)3-2=
=3!3!(3-3)!p3 (1-p)0+3!2!(3-2)!p2(1-p)1=
=1∙p3+3p2(1-p) =p3+3p2-3p3=3p2-2p3
При p = p5
PB =3p52-2p53 , (6)
5. В преобразованно1 схеме элементы 8 , 9 и 10 (рисунок 3) образуют соединение типа «m из n», в данном случае m= 3 и n= 3 , которое заменяется квазиэлементом С. Преобразованная схема приводится на рисунке 4.
Рисунок 4 – Схема с квазиэлементами А, В и С
6. Так как р8 = р9 = р10 , то для определения вероятности безотказной работы квазиэлемента С можно применить комбинаторный метод , но при
m = n система «m из n» может рассчитываться и как последовательное соединение. Определение вероятности безотказной работы системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов, имеющих вероятность безотказной работы pi , выполняется по формуле:
Pпосл=i=1npi, (7)
Вероятность безотказной работы квазиэлемента PС определяется по формуле для последовательного соединения элементов:
PС = p8∙p9 ∙p10=p83 (8)
7. Элементы 11,12,13 образуют параллельное соединение (рисунок 4) и заменяются квазиэлементом D. Схема системы после преобразований приводится на рисунке 5.
Рисунок 5 – Схема с квазиэлементами А, В, С и D после завершения
преобразований
8
. Вероятность безотказной работы системы с паралелльным соединением элементов рассчитывается по формуле (1):
PD=1 – i=1n(1-pi)=1- (1-p11)(1-p12)(1-p13), (9)
Элементы 11,12 и13 равнонадежны, тогда из формулы (9) вероятность безотказной работы квазиэлемента D:
PD =1-(1-p11)3 , (10)
Элементы 1 , 14 и квазиэлементы А,B,C,D образуют последо-вательное соединение (рисунок 5). Вероятность безотказной работы последовательного соединения определяется по формуле (7), тогда вероятность безотказной работы всей преобразованной системы будет рассчитываться по формуле:
P=p1∙ PA∙PB∙PC ∙PD ∙p14 , ( 11)
9.Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 до 14 подчиняются экспоненциальному закону:
pi=e-λit , (12)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов от 1 до 14 исходной схемы (рисунок 1) , выполненные по формуле (12) заносятся в таблицу 1. Максимальная наработка t выбирается такой, при которой вероятность безотказной работы всей системы P находится в пределах 0,1- 0,2 . Также в таблицу заносятся результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B,C, D по формулам (2),(6),(8),(10) соответственно и всей системы в целом по формуле (11) для наработки до определенного значения t.
10. График вероятности безотказной работы исходной системы приводится на рисунке 6.
Рисунок 6 - График вероятности безотказной работы для определения
гамма-процентной наработки системы
11. По графику (рисунок 6) находим для γ = 85% (Pγ=0,85) гамма – процентную наработку системы - tγ =0,5∙106 ч.
Проверочный расчет показывает (таблица 1), что при tγ =0,5∙106 ч
Pγ =0,85 что соответствует заданию.
12. В соответствии с заданием , рассчитывается повышенная в 1,5 раза гамма – процентная наработка системы - tγ′ =1,5∙tγ = 1,5∙0,5∙106=0,75∙106 ч.
Таблица 1 – Расчет вероятностей безотказной работы системы
Элементы λ∙10-6 ,
1/ч Наработка t ∙106 ч
0,45 0,90 1,35 1,80 2,25 2,70 0,50 tγ′ =0,75
1,14 0,10 0,9560 0,9139 0,8737 0,8353 0,7985 0,7634 0,9512 0,9277
2,3,4 0,50 0,7985 0,6376 0,5092 0,4066 0,3247 0,2592 0,7788 0,6873
5,6,7 0,20 0,9139 0,8353 0,7634 0,6977 0,6376 0,5827 0,9048 0,8607
8,9,10 0,01 0,9955 0,9910 0,9866 0,9822 0,9778 0,9734 0,9950 0,9925
11,12,13 0,50 0,7985 0,6376 0,5092 0,4066 0,3247 0,2592 0,7788 0,6873
А - 0,9918 0,9524 0,8817 0,7910 0,6920 0,5935 0,9892 0,9694
B - 0,9791 0,9275 0,8585 0,7811 0,7012 0,6230 0,9746 0,9472
C - 0,9866 0,9734 0,9603 0,9474 0,9347 0,9222 0,9851 0,9778
D - 0,9918 0,9524 0,8817 0,7910 0,6920 0,5935 0,9892 0,9694
P - 0,8684 0,6840 0,4893 0,3230 0,2001 0,1179 0,8500 0,7491
1′,14′ 0,015 0,9933 0,9866 0,9800 0,9734 0,9668 0,9603 0,9925 0,9888
Р′
0,9374 0,7971 0,6155 0,4387 0,2934 0,1866 0,9254 0,8510
1′′, 14′′ 0,1 0,9981 0,9926 0,9841 0,9729 0,9594 0,9440 0,9976 0,9948
Р′′ - 0,9465 0,8069 0,6207 0,4382 0,2889 0,1804 0,9349 0,8613
13.Расчет показывает (таблица 1), что при при t = 0,75∙106 ч для составляющих преобразованной схемы (рисунок 5) p1 =0,9277; PА=0,9694; PB=0,9472; PC=0,9778; PD(t)=0,9694; p14 =0,9277
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
