По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 1500 участников соревнования было отобрано 100 человек

Вычислим сначала числовые характеристики выборки. Построим соответствующий простой вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов:
xi
53,5 56,5 59,5 62,5 65,5 68,5 Итого
ni
9 11 19 30 21 10 100
Найдем среднее:
x=1nxi*ni=6169100=61.69
Найдем исправленную дисперсию:
S2=1n-1xi-x2*ni=1779.499≈17.974
Найдем исправленное среднеквадратичное отклонение:
S=17.974≈4.24
Расчеты в таблице ниже:
xi
53,5 56,5 59,5 62,5 65,5 68,5 Итого
ni
9 11 19 30 21 10 100
xi*ni
481,5 621,5 1130,5 1875 1375,5 685 6169
xi-x2*ni
603,68 296,3 91,126 19,683 304,84 463,76 1779,4
а) Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9562 будет находиться среднее число набранных баллов для всех участников соревнования.
Используем формулу:
x-∆x<m<x+∆x
где ∆x- предельная ошибка выборки
∆x=t*μx=t*S2n*1-nN
Здесь доверительный коэффициент t определяется по значению вероятности,
t=Ф-1γ2=Ф-10.95622=Ф-10.4781=2.02
Подставляем и получаем:
∆x=2.02*17.974100*1-1001500≈0.8274
Тогда искомый интервал:
61.69-0.8274<m<61.69+0.827
60.8626<m<62.517
б) Найдем объем выборки, при котором границы, найденные в пункте а) можно гарантировать с вероятностью 0,9954.
То есть найдем объем выборки n, который гарантирует такую же предельную ошибку для среднего ∆x=0.8274
Используем формулу:
n=t2*S2*N∆x2*N+t2*S2
Вычислим:
t=Ф-1γ2=Ф-10.95542=Ф-10.4777=2.01
Получаем:
n=2.012*17.974*15000.82742*1500+2.012*2.012≈104
в) Найдем вероятность того, что выборочная доля участников соревнований, набранных не менее 67 баллов, отклоняется от генеральной доли таких участников не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).
Выборочная доля всех участников соревнований, набравших не менее 67 баллов, равна
w=10100=0.1
Предельная ошибка для доли:
∆W=t*w1-wn*1-nN
Получаем:
∆W=t*0.1*1-0.1100*1-1001500≤0.05
0.029t≤0.05
t≤0.050.029
t≤1.72
γ≤2Ф1.72=2*0.4573=0.9146
Вероятность 0,9146