По результатам наблюдений, проведенным на железнодорожной станции, составлена таблица зависимости времени расформирования составов на сортировочной горке от числа вагонов в составе.
Требуется найти зависимость времени расформирования t (мин) от числа вагонов m в виде трех формул:
t=am+b, t=am+b, t=am2+bm+c.
Вычислить среднеквадратичные уклонения и выбрать наиболее подходящую эмпирическую формулу. Построить графики эмпирических зависимостей вместе с точками исходной таблицы.
i = 1 – номер варианта,
m – число вагонов в составе грузового поезда,
t – время расформирования состава.
Ответ
Линейная зависимость: t=0,404m+3,3678.
среднеквадратичное уклонение: ε1≈0,2441.
Гиперболическая зависимость: t=-1471,24m+61,7059.
среднеквадратичное уклонение: ε1≈9,105.
Линейная зависимость: t=-0,0003m2+0,4262m+2,9899.
среднеквадратичное уклонение: ε1≈0,2619.
Наиболее подходящая эмпирическая формула t=0,404m+3,3678, т.к. среднеквадратичное уклонение в этом случае имеет наименьшее значение ε3≈0,2441.
Решение
По результатам эксперимента получена следующая таблица значений.
Таблица 2.1.
m (шт) 20 24 28 32 36 40 44 48 52 54
t (мин) 11,2 13,1 14,8 16,5 18,1 19,6 21 22,3 24,2 25,6
В качестве эмпирической формулы выбираем линейную функцию
t=am+b.
Параметры a, b определим из системы уравнений
b∙n+ai=1nmi=i=1ntibi=1nmi+ai=1nmi2=i=1nmiti.
Для того чтобы найти коэффициенты этой системы, проделаем предварительные расчеты, результаты которых сведем в таблицу 2.2.
Таблица 2.2.
i mi
ti
mi2 miti
t(mi) εi
εi2
1 20 11,2 400 224 11,448 -0,248 0,062
2 24 13,1 576 314,4 13,064 0,036 0,001
3 28 14,8 784 414,4 14,681 0,119 0,014
4 32 16,5 1024 528 16,297 0,203 0,041
5 36 18,1 1296 651,6 17,913 0,187 0,035
6 40 19,6 1600 784 19,529 0,071 0,005
7 44 21 1936 924 21,145 -0,145 0,021
8 48 22,3 2304 1070,4 22,761 -0,461 0,213
9 52 24,2 2704 1258,4 24,377 -0,177 0,031
10 54 25,6 2916 1382,4 25,185 0,415 0,172
Сумма 378 186,4 15540 7551,6 0,595705
Последняя строка таблицы содержит коэффициенты системы. Подставляя их в систему уравнений, получаем
10b+378a=186,4,378b+15540a=7551,6.
Решая эту систему, находим: a = 0,404, b = 3,3678. Окончательный вид эмпирической формулы t=0,404m+3,3678.
Для вычисления среднеквадратичного уклонения заполним три последних столбца таблицы 2.2:
t(mi) – значения, полученные по найденной эмпирической формуле в точках mi;
εi = t(mi)– ti – уклонения между теоретическими и опытными значениями.
Суммируя значения последнего столбца, вычислим среднеквадратичное уклонение
ε1=1ni=1nεi2=0,595710≈0,2441.
Построим график:
Рис
. 2.1 График линейной функции
В качестве эмпирической формулы выбираем гиперболическую функцию
t=am+b.
Введем новую переменную:
x=1m
Таблица 2.3.
x (1/шт) 0,05 0,042 0,036 0,031 0,028 0,025 0,023 0,021 0,0192 0,0185
t (мин) 11,2 13,1 14,8 16,5 18,1 19,6 21 22,3 24,2 25,6
Теперь рассмотрим новую линейную функцию:
t=ax+b.
Параметры a, b определим из системы уравнений
b∙n+ai=1nxi=i=1nti,bi=1nxi+ai=1nxi2=i=1nxiti.
Для того чтобы найти коэффициенты системы, проделаем предварительные расчеты, результаты которых сведем в таблицу 2.4.
Таблица 2.4.
i xi
ti
xi2 xiti
t(xi) εi
εi2
1 0,0500 11,2 0,0025 0,56 -11,856 23,056 531,579
2 0,0417 13,1 0,00176 0,315 0,404 -10,3517 107,1572
3 0,0357 14,8 0,0013 0,3168 9,162 -3,37829 11,41286
4 0,0313 16,5 0,00096 0,3255 15,730 1,816193 3,298557
5 0,0278 18,1 0,00078 0,3528 20,838 3,852884 14,84472
6 0,0250 19,6 0,00063 0,3775 24,925 5,489575 30,13543
7 0,0227 21 0,00053 0,4163 28,269 5,247369 27,53488
8 0,0208 22,3 0,00044 0,441 31,055 5,105163 26,06269
9 0,0192 24,2 0,00036 0,4275 33,413 6,362957 40,48722
10 0,0185 25,6 0,00032 0,4356 34,461 6,041854 36,504
сумма 0,2927 186,4 0,00958 3,968 829,017
Последняя строка таблицы содержит коэффициенты системы. Подставляя их в систему уравнений, получаем
10b+0,2927a=186,4,0,2927b+0,0096a=3,968.
Решая эту систему, находим: a = -1471,24, b = 61,7059. Окончательный вид эмпирической формулы t=-1471,24m+61,7059.
Для вычисления среднеквадратичного уклонения заполним три последних столбца таблицы 2.4:
t(xi) – значения, полученные по найденной эмпирической формуле в точках xi;
εi = t(xi)– ti – уклонения между теоретическими и опытными значениями.
Суммируя значения последнего столбца, вычислим среднеквадратичное уклонение
ε2=1ni=1nεi2=704829,01710≈9,105.
Построим график:
Рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
