Участок электрической цепи, представленный на схеме, содержит размыкающие и замыкающие контакты пяти реле. Каждое реле функционирует независимо от остальных и при включении срабатывает с вероятностями:
p1=0,6; p2=0,2; p3=0,5; p4=0,4; p5=0,3
Каждое реле включили ровно один раз. С какой вероятностью после этого:
а) участок цепи пропускает постоянный ток
б) участок цепи не пропускает постоянный ток, если реле P3 сработало
в) реле P2 сработало, если участок цепи пропускает постоянный ток?
Вероятности вычислять с точностью до 0,0001
Решение
Обозначим события:
A - участок пропускает постоянный ток
B – реле Р3 сработало
С – реле Р2 сработало
Участок цепи будет пропускать ток, если 1 реле сработает и 4 реле сработает, либо 1 реле сработает и 2 сработает и 3 не сработает и 5 не сработает
p1=0,6 => p1=1-p1=1-0,6=0,4;
p2=0,2 => p2=1-p2=1-0,2=0,8;
p3=0,5 => p3=1-p3=1-0,5=0,5;
p4=0,4 => p4=1-p4=1-0,4=0,6;
p5=0,3 => p5=1-p5=1-0,3=0,7;
Составим таблицу всех элементарных исходов срабатывания реле:
N 1 2 3 4 5 p
A
1 - - - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
2 - - - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
3 - - - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0448
4 - - - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0192
5 - - + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
6 - - + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
7 - - + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0448
8 - - + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0192
9 - + - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
10 - + - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
11 - + - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0112
12 - + - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0048
13 - + + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
14 - + + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
15 - + + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0112
16 - + + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0048
17 + - - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,1008
18 + - - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0432
19 + - - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
+
20 + - - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
+
21 + - + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,1008
22 + - + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0432
23 + - + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
+
24 + - + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
+
25 + + - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0252
+
26 + + - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0108
27 + + - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
+
28 + + - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
+
29 + + + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0252
30 + + + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0108
31 + + + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
+
32 + + + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
+
Чтобы получить вероятность P(A) найдем все элементарные исходы, удовлетворяющие условию A:
PA=0,0672+0,0288+0,0672+0,0288+0,0252+0,0168+0,0072+0,0168+
+0,0072=0,2652
PA=1-PA=1-0,2652=0,7348
Условные вероятности найдем по формулам:
PAB=P(A∙B)P(B) PCA=P(C∙A)P(A)
Рассмотрим варианты, когда 3 реле сработало и тока в цепи нет: (положения 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 29, 30)
PA∙B=0,0672+0,0288+0,0448+0,0192+0,0168+0,0072+0,0112+0,0048+
+0,1008+0,0432+0,0252+0,0108=0,38
PAB=0,380,5=0,76
Рассмотрим варианты, когда 2 реле сработало и ток в цепи есть: (положения 25, 27, 28, 31, 32)
PC∙A=0,0252+0,0168+0,0072+0,0168+0,0072=0,0732
PCA=P(C∙A)P(A)=0,07320,2652≈0,276
Ответ:PA=0,2652 PAB=0,76 PCA=0,276
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
